P-1 | Struktur Aljabar | Teori Dasar Himpunan & Relasi Ekivalen

🎯 Capaian Pembelajaran Pertemuan (CPP)

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa mampu:

CPP-1.1 Menjelaskan konsep himpunan, cara mendefinisikannya, dan operasi-operasi dasar beserta sifat-sifatnya.

CPP-1.2 Membuktikan sifat-sifat aljabar himpunan — termasuk Hukum De Morgan — menggunakan argumen keanggotaan.

CPP-1.3 Menjelaskan konsep relasi biner, sifat-sifatnya (refleksif, simetris, transitif, antisimetris), dan relasi ekivalen.

CPP-1.4 Mengonstruksi kelas ekivalen dan partisi dari suatu himpunan, serta membuktikan keterkaitan keduanya.

✅ Pengetahuan Prasyarat

Sebelum mengikuti pertemuan ini, pastikan Anda telah memahami:

Sistem bilangan $\N$, $\Z$, $\Q$, dan $\R$ (dari MK Kalkulus / Analisis Real).
Logika matematika dasar: pernyataan, implikasi, biimplikasi, dan kuantor ($\forall$, $\exists$).
Teknik pembuktian matematika: langsung, kontrapositif, dan kontradiksi.
Operasi dasar himpunan: gabungan, irisan, dan komplemen (dari matematika SMA).

📖 Uraian Materi

Bagian 1 — Teori Dasar Himpunan

Definisi 1.1 | Himpunan

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefinisi dengan baik (well-defined), disebut anggota atau elemen.

Jika $a$ adalah anggota himpunan $A$: ditulis $a \in A$.
Jika $a$ bukan anggota $A$: ditulis $a \notin A$.

Dua cara mendefinisikan himpunan:

Enumerasi: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Builder: $B = \{x \in \Z \mid x^2 < 10\} = \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$.

Definisi 1.2 | Himpunan Kosong, Himpunan Bagian, dan Kesamaan

Himpunan kosong $\emptyset = \{\}$: himpunan tanpa anggota.
$A \subseteq B$ (himpunan bagian) $\iff$ $\forall x\,(x \in A \Rightarrow x \in B)$.
$A = B \iff A \subseteq B$ dan $B \subseteq A$.
$A \subsetneq B$ (himpunan bagian sejati): $A \subseteq B$ dan $A \neq B$.

\emptyset \subseteq A \subseteq \mathcal{P}(A), \quad \text{untuk setiap himpunan } A.

Definisi 1.3 | Operasi-Operasi Himpunan

Misalkan $A, B \subseteq U$ (semesta). Didefinisikan:

\begin{array}{rll} A \cup B &= \{x \in U \mid x \in A \text{ atau } x \in B\} &\textbf{(gabungan)}\\[4pt] A \cap B &= \{x \in U \mid x \in A \text{ dan } x \in B\} &\textbf{(irisan)}\\[4pt] A \setminus B &= \{x \in U \mid x \in A,\; x \notin B\} &\textbf{(selisih)}\\[4pt] A^c &= U \setminus A &\textbf{(komplemen)}\\[4pt] A \times B &= \{(a,b) \mid a \in A,\; b \in B\} &\textbf{(Kartesius)} \end{array}

$A$ dan $B$ saling lepas (disjoint) jika $A \cap B = \emptyset$.

Teorema 1.1 | Hukum De Morgan

Untuk setiap himpunan $A$, $B$ dalam semesta $U$:

(A \cup B)^c = A^c \cap B^c \qquad \text{dan} \qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c.

Bukti | $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

$(\subseteq)$: Misal $x \in (A \cup B)^c$. Maka $x \notin A \cup B$, artinya $x \notin A$ dan $x \notin B$. Jadi $x \in A^c$ dan $x \in B^c$, sehingga $x \in A^c \cap B^c$.

$(\supseteq)$: Misal $x \in A^c \cap B^c$. Maka $x \notin A$ dan $x \notin B$, jadi $x \notin A \cup B$, sehingga $x \in (A \cup B)^c$.

Karena kedua inklusi terbukti, maka $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$. $\blacksquare$

Bagian 2 — Relasi Biner dan Relasi Ekivalen

Definisi 2.1 | Relasi Biner

Sebuah relasi biner $R$ dari $A$ ke $B$ adalah himpunan bagian $R \subseteq A \times B$. Jika $(a,b) \in R$, ditulis $aRb$. Jika $A = B$, disebut relasi biner pada $A$.

Definisi 2.2 | Sifat-Sifat Relasi Biner pada $A$

Sifat	Definisi Formal
Refleksif	$\forall a \in A,\; aRa$
Simetris	$\forall a,b \in A,\; aRb \Rightarrow bRa$
Antisimetris	$\forall a,b \in A,\; (aRb \wedge bRa) \Rightarrow a = b$
Transitif	$\forall a,b,c \in A,\; (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc$

Definisi 2.3 | Relasi Ekivalen

Relasi biner $\sim$ pada $A$ disebut relasi ekivalen jika bersifat refleksif, simetris, dan transitif sekaligus.

Contoh 2.1 | Kongruensi Modulo $n$ (Contoh Fundamental)

Untuk $n \in \N$, $n \geq 2$, definisikan pada $\Z$:

a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b).

Relasi ini adalah relasi ekivalen karena:

Refleksif: $a - a = 0 = n \cdot 0$, maka $n \mid 0$. ✔
Simetris: $n \mid (a-b) \Rightarrow a-b = nk \Rightarrow b-a = n(-k) \Rightarrow n \mid (b-a)$. ✔
Transitif: $n \mid (a-b)$ dan $n \mid (b-c) \Rightarrow n \mid [(a-b)+(b-c)] = (a-c)$. ✔

Definisi 2.4 | Kelas Ekivalen & Himpunan Kuosien

Misalkan $\sim$ adalah relasi ekivalen pada $A$ dan $a \in A$. Kelas ekivalen dari $a$:

[a] = \{x \in A \mid x \sim a\}.

Himpunan kuosien (quotient set):

A/{\sim} \;=\; \{[a] \mid a \in A\}.

Teorema 2.1 | Kelas Ekivalen Membentuk Partisi

Jika $\sim$ adalah relasi ekivalen pada $A$, maka $A/{\sim}$ membentuk partisi dari $A$, yaitu kelas-kelas ekivalen saling lepas dan mencakup seluruh $A$. Sebaliknya, setiap partisi dari $A$ menentukan suatu relasi ekivalen.

Bukti (sketsa)

Saling lepas: Jika $[a] \cap [b] \neq \emptyset$, ada $c \in [a] \cap [b]$. Maka $c \sim a$ dan $c \sim b$. Dari simetri dan transitif: $a \sim b$. Akibatnya $[a] = [b]$. Jadi dua kelas berbeda selalu saling lepas.

Mencakup $A$: Karena $\sim$ refleksif, $a \in [a]$ untuk setiap $a \in A$. Maka $\bigcup_{a \in A}[a] = A$. $\blacksquare$

Contoh 2.2 | Kelas Ekivalen Modulo 3

Untuk $\equiv \pmod{3}$ pada $\Z$, terdapat tepat tiga kelas ekivalen:

[0] = \{\ldots, -6,-3,0,3,6,\ldots\}, \quad [1] = \{\ldots,-5,-2,1,4,7,\ldots\}, \quad [2] = \{\ldots,-4,-1,2,5,8,\ldots\}.

Sehingga $\Z/3\Z = \{[0],[1],[2]\}$, dan ketiga kelas ini membentuk partisi dari $\Z$.

Catatan: $[0] = [3] = [6] = [-3]$ — satu kelas dapat direpresentasikan oleh anggota manapun di dalamnya.

💡 Relevansi untuk Struktur Aljabar

$\Z/n\Z = \{[0],[1],\ldots,[n-1]\}$ akan menjadi contoh utama Grup Siklik dan Ring di pertemuan mendatang.
Konsep Koset (P-5) dan Grup Kuosien (P-6) adalah generalisasi langsung dari partisi oleh relasi ekivalen.
Kongruensi modulo $n$ akan terus muncul sebagai sumber intuisi dan contoh sepanjang MK ini.

✏️ Latihan Soal Mandiri (dikerjakan individual · dikumpulkan pada P-2)

Buktikan Hukum De Morgan kedua: $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.

Buktikan sifat absorpsi: $A \cup (A \cap B) = A$ untuk setiap himpunan $A$ dan $B$.

Pada $\Z$, definisikan $a \sim b \iff 5 \mid (2a - 3b)$.

Buktikan bahwa $\sim$ adalah relasi ekivalen.
Tentukan $[0]$ dan $[1]$.
Berapa banyak kelas ekivalen yang terbentuk? Sebutkan semua perwakilan.

⭐ Menengah

Diberikan $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ dengan relasi kongruensi modulo 4.

Tuliskan semua kelas ekivalen.
Tunjukkan bahwa kelas-kelas tersebut membentuk partisi dari $A$.
Nyatakan himpunan kuosien $A/{\equiv_4}$.

Misalkan $\sim_1$ dan $\sim_2$ adalah relasi ekivalen pada $A$. Apakah $\sim_1 \cap \sim_2$ (sebagai subset dari $A \times A$) juga relasi ekivalen? Buktikan jawaban Anda!

🔥 Tantangan

✨ Pengayaan Misalkan $f: A \to B$ adalah fungsi. Definisikan relasi pada $A$: $a_1 \sim a_2 \iff f(a_1) = f(a_2)$.

Buktikan $\sim$ adalah relasi ekivalen.
Deskripsikan kelas-kelas ekivalen dalam kaitannya dengan $f$.
Bagaimana hubungan antara $A/{\sim}$ dan range dari $f$? (Petunjuk: ini adalah embrio Teorema Homomorfisma!)

📚 Rujukan Bacaan P-1

Herstein, I. N. (2006). Topics in Algebra (2nd ed.). John Wiley & Sons. Bab 1 (Preliminary Notions), §1.1–1.3 (hal. 1–25). Referensi Utama
Gallian, J. A. (2021). Contemporary Abstract Algebra (10th ed.). Chapman & Hall/CRC. Bab Preliminaries (hal. 1–20).
Fraleigh, J. B. (2014). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Pearson. Section 0 (Sets and Relations).
Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. Appendix I (Preliminaries).
Susilo, F. (2012). Aljabar Abstrak: Teori Grup. Graha Ilmu. Bab 1.

📌 Prioritaskan membaca Herstein §1.1–1.3 sebelum Pertemuan 2.

Pertemuan 1: Teori Dasar Himpunan & Relasi Ekivalen

Bagian 1 — Teori Dasar Himpunan

Bagian 2 — Relasi Biner dan Relasi Ekivalen