Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa mampu:
Sebelum mengikuti pertemuan ini, pastikan Anda telah memahami:
- Konsep himpunan, operasi himpunan, dan hasil kali Kartesius \(A \times B\) (P-1).
- Relasi biner dan relasi ekivalen, termasuk kongruensi modulo \(n\) (P-1).
- Sistem bilangan bulat \(\mathbb{Z}\) dan operasi dasar pada \(\mathbb{Z}\).
- Teknik pembuktian: langsung, kontrapositif, dan kontradiksi.
Bagian 1 — Teori Fungsi
Sebuah fungsi (atau pemetaan) \(f\) dari \(A\) ke \(B\), ditulis \(f: A \to B\), adalah aturan yang mengaitkan setiap \(a \in A\) dengan tepat satu \(f(a) \in B\).
- \(A\): domain; \(B\): kodomain.
- Range: \(\text{Im}(f) = \{f(a) \mid a \in A\} \subseteq B\).
- \(f = g\) jika dan hanya jika \(f(a) = g(a)\) untuk setiap \(a \in A\).
Misalkan \(f: A \to B\). Dikatakan \(f\) bersifat:
| Jenis | Definisi Formal | Istilah Lain |
|---|---|---|
| Injektif | \(f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow a_1=a_2\) | Satu-satu (one-to-one) |
| Surjektif | \(\forall b \in B,\; \exists a \in A: f(a)=b\) | Onto |
| Bijektif | Injektif dan surjektif | Korespondensi satu-satu |
- \(f(x)=x+3\): bijektif (injektif: \(x_1+3=x_2+3\Rightarrow x_1=x_2\); surjektif: preimage \(b\) adalah \(b-3\)).
- \(f(x)=x^2\): tidak injektif (\(f(2)=f(-2)=4\)) dan tidak surjektif (\(-1\) tak punya preimage).
- \(f(x)=2x\): injektif tetapi tidak surjektif (\(1\) tak punya preimage di \(\mathbb{Z}\)).
- \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(f(x)=[x\bmod 2]\): surjektif tetapi tidak injektif.
Misalkan \(f: A \to B\) dan \(g: B \to C\). Komposisi \(g \circ f: A \to C\) didefinisikan oleh:
Catatan: Komposisi tidak komutatif secara umum: \(g \circ f \neq f \circ g\).
Misalkan \(f:A\to B\), \(g:B\to C\), \(h:C\to D\). Berlaku:
- Asosiatif: \(h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\).
- Jika \(f\) dan \(g\) injektif, maka \(g\circ f\) injektif.
- Jika \(f\) dan \(g\) surjektif, maka \(g\circ f\) surjektif.
- Jika \(g\circ f\) injektif, maka \(f\) injektif.
- Jika \(g\circ f\) surjektif, maka \(g\) surjektif.
Misalkan \(f:A\to B\) bijektif. Fungsi invers \(f^{-1}: B\to A\) didefinisikan oleh:
Sifat: \(f^{-1}\circ f=\text{id}_A\) dan \(f\circ f^{-1}=\text{id}_B\).
Teorema: \(f\) memiliki invers jika dan hanya jika \(f\) bijektif.
Sebuah permutasi pada himpunan \(A\) adalah fungsi bijektif \(\sigma: A\to A\). Untuk \(A=\{1,2,\ldots,n\}\), dinotasikan:
Himpunan semua permutasi pada \(\{1,\ldots,n\}\) dengan komposisi disebut Grup Simetri \(S_n\), dengan \(|S_n|=n!\)
Diberikan \(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\) dan \(\tau=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\).
(a) Komposisi \(\tau\circ\sigma\):
- \((\tau\circ\sigma)(1)=\tau(\sigma(1))=\tau(2)=3\)
- \((\tau\circ\sigma)(2)=\tau(\sigma(2))=\tau(3)=2\)
- \((\tau\circ\sigma)(3)=\tau(\sigma(3))=\tau(1)=1\)
(b) Invers \(\sigma^{-1}\): Balik baris, susun ulang:
Verifikasi: \(\sigma^{-1}\circ\sigma=\text{id}\). ✔
Catatan penting: \(\tau\circ\sigma\neq\sigma\circ\tau\) — \(S_n\) untuk \(n\geq 3\) adalah grup non-komutatif.
- Homomorfisma adalah fungsi yang mempertahankan struktur operasi — dibahas di P-7 dan P-12.
- Isomorfisma adalah homomorfisma bijektif — digunakan untuk menyatakan "dua struktur pada dasarnya sama".
- Grup Simetri \(S_n\) adalah contoh fundamental grup non-komutatif (P-3 dan P-4).
- Teorema Cayley: Setiap grup isomorfik dengan subgrup dari \(S_n\).
Bagian 2 — Bilangan Bulat (Integer)
Misalkan \(a,b\in\mathbb{Z}\) dengan \(b>0\). Terdapat bilangan bulat tunggal \(q\) dan \(r\) sehingga:
Jika \(r=0\), dikatakan \(b\mid a\) (\(b\) habis membagi \(a\)).
\(17=5\cdot3+2\) → \(q=3,\;r=2\).
\(-17=5\cdot(-4)+3\) → \(q=-4,\;r=3\). (Perhatikan: \(r\geq0\) selalu!)
\(25=5\cdot5+0\) → \(5\mid25\).
Bilangan bulat \(p>1\) disebut bilangan prima jika pembagi positifnya hanya \(1\) dan \(p\). Bilangan \(n>1\) yang bukan prima disebut komposit.
FPB \(\gcd(a,b)\): bilangan bulat positif terbesar yang membagi \(a\) dan \(b\).
Algoritma Euclid: \(\gcd(a,b)=\gcd(b,\,a\bmod b)\), ulangi hingga sisa \(=0\).
\(252=198\cdot1+54\)
\(198=54\cdot3+36\)
\(54=36\cdot1+18\)
\(36=18\cdot2+0\) ← berhenti
Jadi \(\gcd(252,198)=18\). ✔
Identitas Bezout: Terdapat \(s,t\in\mathbb{Z}\) sehingga \(\gcd(a,b)=sa+tb\). (Akan digeneralisasi menjadi Gelanggang Euclid di P-15!)
Untuk \(a\equiv b\pmod{n}\) dan \(c\equiv d\pmod{n}\), berlaku:
- \(a+c\equiv b+d\pmod{n}\) (stabil terhadap penjumlahan)
- \(a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod{n}\) (stabil terhadap perkalian)
Akibat: Operasi pada \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{[0],[1],\ldots,[n-1]\}\) terdefinisi dengan baik:
Tabel operasi \(+\) pada \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}\):
| \(+\) | [0] | [1] | [2] | [3] | [4] |
|---|---|---|---|---|---|
| [0] | [0] | [1] | [2] | [3] | [4] |
| [1] | [1] | [2] | [3] | [4] | [0] |
| [2] | [2] | [3] | [4] | [0] | [1] |
| [3] | [3] | [4] | [0] | [1] | [2] |
| [4] | [4] | [0] | [1] | [2] | [3] |
Amati: Setiap baris dan kolom memuat tepat satu kali setiap elemen — sifat Grup! \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z},+)\) adalah contoh utama grup siklik di P-3.
- \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\) adalah Grup Siklik orde \(n\) — contoh terpenting di P-3 dan P-4.
- \((\mathbb{Z},+,\cdot)\) adalah contoh paling natural dari Ring Komutatif (P-9 s.d P-11).
- Algoritma Euclid digeneralisasi menjadi Gelanggang Euclid di P-15.
- Konsep bilangan prima digeneralisasi menjadi elemen prima dan elemen tak tereduksi dalam ring.
Diberikan \(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{pmatrix}\) dan \(\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}\) dalam \(S_4\).
(a) Hitung \(\sigma\circ\tau\) dan \(\tau\circ\sigma\). (b) Tentukan \(\sigma^{-1}\) dan \(\tau^{-1}\). (c) Hitung \(\sigma^4\).
Buktikan: untuk \(a,b,n\in\mathbb{Z}\), \(n>0\), \(\gcd(a,n)=1\), jika \(ab\equiv0\pmod{n}\) maka \(b\equiv0\pmod{n}\). Apa yang terjadi jika syarat \(\gcd(a,n)=1\) dihapus?
Tunjukkan bahwa \(U(n)=\{[a]\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\mid\gcd(a,n)=1\}\) dengan perkalian membentuk suatu grup. Tentukan \(U(8)\) dan \(U(12)\) secara eksplisit. (Petunjuk: ini Grup Unit — akan muncul kembali di bahasan Ring!)
📌 Prioritaskan membaca Herstein §1.2–1.3 dan Gallian Bab 0 sebelum Pertemuan 3.