Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa mampu:
Sebelum mengikuti pertemuan ini, pastikan Anda telah memahami:
- Konsep fungsi bijektif, komposisi fungsi, dan permutasi (P-2).
- Himpunan \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) dan operasi penjumlahan modulo \(n\) (P-1 & P-2).
- Hasil kali Kartesius \(A \times A\) dan konsep pemetaan dari \(A \times A\) ke \(A\) (P-1).
- Teknik pembuktian: langsung, kontrapositif, dan induksi matematika.
Bagian 1 — Operasi Biner
Misalkan \(A\) himpunan tak kosong. Suatu pemetaan \(*: A \times A \to A\) disebut operasi biner dalam \(A\). Untuk \((x,y) \in A \times A\), hasil operasi ditulis \(x * y\) atau cukup \(xy\).
Sifat-sifat penting operasi biner dalam \(A\):
| Sifat | Definisi |
|---|---|
| Tertutup | \(xy \in A\) untuk setiap \(x,y \in A\) |
| Asosiatif | \(x(yz) = (xy)z\) untuk setiap \(x,y,z \in A\) |
| Komutatif | \(xy = yx\) untuk setiap \(x,y \in A\) |
| Unsur Identitas | Terdapat \(e \in A\) dengan \(xe = x = ex\) untuk setiap \(x \in A\) |
| Invers | Untuk setiap \(x \in A\), terdapat \(x^{-1} \in A\) dengan \(xx^{-1} = e = x^{-1}x\) |
- Penjumlahan pada \(\mathbb{Z}\): tertutup ✔, asosiatif ✔, identitas \(e=0\) ✔, invers \(-a\) ✔, komutatif ✔.
- Pembagian pada \(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\): \(a*b=a/b\). Tidak tertutup (\(1/2\notin\mathbb{Z}\)), tidak asosiatif, tidak ada identitas.
- Komposisi pada \(A(S)\) (semua bijeksi \(S\to S\)): tertutup ✔, asosiatif ✔, identitas \(\iota_S\) ✔, invers \(\alpha^{-1}\) ✔. Untuk \(|S|\geq3\): tidak komutatif.
- Gabungan himpunan: tertutup ✔, asosiatif ✔, identitas \(\emptyset\) ✔, tetapi tidak setiap anggota berinvers.
Bagian 2 — Definisi dan Contoh Grup
Suatu himpunan tak kosong \(G\) dikatakan membentuk grup jika dalam \(G\) didefinisikan suatu operasi biner yang memenuhi empat aksioma:
| No. | Aksioma | Pernyataan |
|---|---|---|
| G1 | Tertutup | \(\forall a,b\in G:\; ab\in G\) |
| G2 | Asosiatif | \(\forall a,b,c\in G:\; a(bc)=(ab)c\) |
| G3 | Identitas | \(\exists e\in G:\; ae=a=ea\) untuk setiap \(a\in G\) |
| G4 | Invers | \(\forall a\in G,\;\exists a^{-1}\in G:\; aa^{-1}=e=a^{-1}a\) |
Grup \(G\) disebut Abelian (komutatif) jika tambahan memenuhi \(ab=ba\) untuk setiap \(a,b\in G\). Grup yang tidak Abelian disebut non-Abelian.
(a) \((\mathbb{Z},+)\) — Grup Takhingga Abelian
Identitas \(e=0\), invers \(a^{-1}=-a\), \(o(\mathbb{Z})=\infty\). Semua aksioma terpenuhi.
(b) \(G=\{1,-1\}\) dengan perkalian — \(o(G)=2\), Abelian
| \(\cdot\) | 1 | −1 |
| 1 | 1 | −1 |
| −1 | −1 | 1 |
Identitas \(e=1\), \(1^{-1}=1\), \((-1)^{-1}=-1\). Grup Abelian.
(c) Grup Simetri \(S_3\) — \(o(S_3)=6\), Non-Abelian
Untuk \(S=\{x_1,x_2,x_3\}\), \(S_3\) adalah himpunan semua bijeksi \(S\to S\) dengan komposisi. \(|S_3|=3!=6\). Karena \(\alpha\circ\beta\neq\beta\circ\alpha\) untuk beberapa unsur, maka \(S_3\) non-Abelian.
Invers: \(e^{-1}=e,\;\alpha^{-1}=\alpha^2,\;\beta^{-1}=\beta,\;(\alpha\beta)^{-1}=\alpha\beta,\;(\alpha^2)^{-1}=\alpha,\;(\alpha^2\beta)^{-1}=\alpha^2\beta\).
(d) Grup Siklik Orde \(n\)
Untuk \(n\in\mathbb{N}\), \(G=\{a^i\mid i=0,1,\ldots,n-1\}\) dengan:
Untuk \(n=5\): \(G=\{e,a,a^2,a^3,a^4\}\), tabel Cayley:
| \(\cdot\) | \(e\) | \(a\) | \(a^2\) | \(a^3\) | \(a^4\) |
| \(e\) | \(e\) | \(a\) | \(a^2\) | \(a^3\) | \(a^4\) |
| \(a\) | \(a\) | \(a^2\) | \(a^3\) | \(a^4\) | \(e\) |
| \(a^2\) | \(a^2\) | \(a^3\) | \(a^4\) | \(e\) | \(a\) |
| \(a^3\) | \(a^3\) | \(a^4\) | \(e\) | \(a\) | \(a^2\) |
| \(a^4\) | \(a^4\) | \(e\) | \(a\) | \(a^2\) | \(a^3\) |
Grup ini Abelian karena \(a^ia^j=a^{i+j}=a^ja^i\). Perhatikan: \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z},+)\) memiliki struktur yang identik dengan grup ini!
(e) Grup Quaternion \(Q_8\) — \(o(Q_8)=8\), Non-Abelian
\(Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}\) dengan relasi \(i^2=j^2=k^2=-1\), \(ij=k\), \(jk=i\), \(ki=j\). Karena \(ij=k\neq -k=ji\), maka \(Q_8\) non-Abelian.
(f) Grup Matriks \(GL_2(\mathbb{R})\)
\(GL_2(\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\mathbb{R},\;ad-bc\neq0\right\}\) dengan perkalian matriks. Non-Abelian, takhingga. Identitas \(=I_2\), invers \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).
Untuk \(a\in G\) dan \(k\in\mathbb{N}\):
Berlaku: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) dan \((a^m)^n=a^{mn}\) untuk setiap \(m,n\in\mathbb{Z}\).
Bagian 3 — Sifat-Sifat Dasar Grup
Jika \(G\) adalah grup, maka:
- Identitas tunggal: Unsur identitas \(e\) dalam \(G\) adalah tunggal.
- Invers tunggal: Setiap \(a\in G\) memiliki invers yang tunggal.
- Invers dari invers: \((a^{-1})^{-1}=a\) untuk setiap \(a\in G\).
- Invers hasil kali: \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\) untuk setiap \(a,b\in G\).
(1) Misal \(e\) dan \(f\) keduanya identitas. Pandang \(e\) identitas, \(f\) elemen biasa: \(f=ef\). Pandang \(f\) identitas, \(e\) elemen biasa: \(e=ef\). Maka \(e=ef=f\). \(\square\)
(2) Misal \(x,y\) keduanya invers \(a\): \(ax=e=xa\) dan \(ay=e=ya\). Maka \(x=ex=(ya)x=y(ax)=ye=y\). \(\square\)
(3) Dari \(a^{-1}(a^{-1})^{-1}=e=a^{-1}a\), menurut (2): \((a^{-1})^{-1}=a\). \(\square\)
(4) \((ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=e\). Demikian pula \((b^{-1}a^{-1})(ab)=e\). Jadi \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\). \(\square\)
Diberikan \(a,b\in G\). Persamaan \(ax=b\) dan \(ya=b\) masing-masing memiliki solusi tunggal. Khususnya:
- Pencoretan kiri: \(au=aw \Rightarrow u=w\).
- Pencoretan kanan: \(ua=wa \Rightarrow u=w\).
Solusi: \(x=a^{-1}b\), karena \(a(a^{-1}b)=(aa^{-1})b=eb=b\). ✔
Ketunggalan: Jika \(ax_1=b\), maka \(x_1=ex_1=(a^{-1}a)x_1=a^{-1}(ax_1)=a^{-1}b\). \(\square\)
- Hukum pencoretan tidak berlaku untuk silang: \(ab=ca\) tidak mengimplikasikan \(b=c\) dalam grup non-Abelian!
- Rumus \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\) — urutan dibalik — adalah konsekuensi dari kemungkinan non-komutatif.
- Lemma 1.1 dan 1.2 berlaku untuk setiap grup, tanpa terkecuali.
Dalam \(S_3\), tunjukkan bahwa terdapat tepat empat unsur \(x\) yang memenuhi \(x^2=e\) dan tepat tiga unsur \(y\) yang memenuhi \(y^3=e\). Identifikasi semua secara eksplisit.
Misalkan \(G\) grup dan \(a\in G\). Definisikan \(C(a)=\{x\in G\mid xa=ax\}\). Buktikan bahwa \(C(a)\) tertutup terhadap operasi dalam \(G\) dan mengandung invers setiap anggotanya. (C(a) disebut centralizer dari a — akan muncul lagi di P-4!)
Buktikan bahwa grup \(G\) dengan \(o(G)=2\) atau \(o(G)=3\) pasti Abelian. Kemudian berikan contoh grup non-Abelian dengan orde terkecil mungkin dan tunjukkan non-komutatifitasnya secara eksplisit.
📌 Prioritaskan membaca Herstein §2.1–§2.3 sebelum Pertemuan 4.