Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa mampu:
Sebelum mengikuti pertemuan ini, pastikan Anda telah memahami:
- Definisi dan empat aksioma grup (G1–G4) serta sifat-sifat dasar grup (P-3).
- Lemma 1.1 dan 1.2 P-3: ketunggalan identitas/invers, \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\), hukum pencoretan.
- Contoh-contoh grup: \((\mathbb{Z},+)\), \(S_3\), grup siklik, \(Q_8\), \(GL_2(\mathbb{R})\) (P-3).
- Teknik pembuktian dengan inklusi dua arah dan induksi matematika.
Bagian 1 — Definisi dan Kriteria Subgrup
Perhatikan \(G = (\mathbb{Z}, +)\) dan \(H = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}\) (bilangan genap). Dengan operasi penjumlahan yang sama, \(H\) memenuhi semua aksioma grup. Fenomena ini mendorong kita mendefinisikan subgrup — bagian dari grup yang dengan sendirinya membentuk grup.
Suatu subhimpunan tak kosong \(H\) dari \(G\) dikatakan subgrup dari \(G\) jika dengan operasi yang sama dengan \(G\), \(H\) membentuk grup.
Catatan penting:
- Operasi dalam \(H\) harus sama dengan dalam \(G\).
- Jika \(H\) subgrup \(G\) dan \(K\) subgrup \(H\), maka \(K\) subgrup \(G\).
- Setiap grup \(G\) selalu memiliki dua subgrup trivial: \(\{e\}\) dan \(G\) itu sendiri.
\(H \subseteq G\) tak kosong adalah subgrup dari \(G\) \(\iff\):
- \(ab \in H\) untuk semua \(a,b \in H\) (tertutup)
- jika \(a \in H\), maka \(a^{-1} \in H\) (memuat invers)
\(H \subseteq G\) tak kosong adalah subgrup dari \(G\) \(\iff\):
Identitas: \(a=b\) → \(aa^{-1}=e\in H\). ✔ Invers: \(a=e\) → \(eb^{-1}=b^{-1}\in H\). ✔
Tertutup: Karena \(b^{-1}\in H\), maka \(a(b^{-1})^{-1}=ab\in H\). ✔ \(\square\)
Jika \(H\) subhimpunan hingga tak kosong dari \(G\) yang tertutup di bawah operasi \(G\), maka \(H\) subgrup dari \(G\).
Bagian 2 — Contoh-Contoh Subgrup
Untuk setiap \(n \in \mathbb{N}\), himpunan \(H_n = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\}\) adalah subgrup dari \((\mathbb{Z},+)\).
- Tidak kosong: \(0 = n\cdot0 \in H_n\). ✔
- Tertutup: \(nk_1+nk_2=n(k_1+k_2)\in H_n\). ✔
- Invers: \(-(nk)=n(-k)\in H_n\). ✔
Semua subgrup dari \((\mathbb{Z},+)\) berbentuk \(H_n\) untuk suatu \(n \geq 0\) — ini akan terbukti dari Teorema Lagrange (P-5).
Untuk \(a \in G\), himpunan \(\langle a \rangle = \{a^i \mid i \in \mathbb{Z}\}\) adalah subgrup dari \(G\), disebut subgrup siklik yang dibangun oleh \(a\).
Jika \(G = \langle a \rangle\), maka \(G\) disebut grup siklik.
Verifikasi: \(a^i \cdot a^j = a^{i+j} \in \langle a \rangle\) ✔ dan \((a^i)^{-1}=a^{-i}\in\langle a\rangle\) ✔.
Untuk \(a \in S\), \(H(a) = \{\alpha \in A(S) \mid \alpha(a) = a\}\) adalah subgrup dari \(A(S)\).
- \(\iota_S \in H(a)\) karena \(\iota_S(a)=a\). ✔
- \((\alpha_1\alpha_2)(a)=\alpha_1(\alpha_2(a))=\alpha_1(a)=a\). ✔
- Jika \(\alpha_1(a)=a\): \(\alpha_1^{-1}(a)=a\). ✔
\(H = \{a+bi \in \mathbb{C}^* \mid a^2+b^2=1\}\) adalah subgrup dari \(\mathbb{C}^*\) (perkalian kompleks).
- Tertutup: \(|(z_1z_2)|=|z_1||z_2|=1\cdot1=1\). ✔
- Invers: \((a+bi)^{-1}=a-bi\) dan \(a^2+(-b)^2=1\). ✔
Geometris: \(H\) adalah lingkaran satuan di bidang kompleks — setiap kelipatan dan invers dari titik di lingkaran tetap di lingkaran!
Bagian 3 — Hasil Kali, Irisan, Normalizer, dan Center
Jika \(H,K\) subgrup dari \(G\), maka \(H\cap K\) juga subgrup dari \(G\).
Tidak kosong: \(e\in H\cap K\). ✔ Tertutup: \(a,b\in H\cap K\Rightarrow ab\in H\) dan \(ab\in K\Rightarrow ab\in H\cap K\). ✔
Invers: \(a\in H\cap K\Rightarrow a^{-1}\in H\) dan \(a^{-1}\in K\Rightarrow a^{-1}\in H\cap K\). ✔ \(\square\)
Misalkan \(H,K\) subgrup dari \(G\), \(HK=\{hk\mid h\in H,k\in K\}\). Maka:
Akibat: Jika \(G\) Abelian, maka \(HK\) selalu subgrup dari \(G\).
Peringatan: Di \(S_3\), untuk \(H=\{e,f\}\) dan \(K=\{e,gf\}\): \(|HK|=4\), tetapi \(4\nmid 6=o(S_3)\) — jadi \(HK\) bukan subgrup (berkaitan dengan Teorema Lagrange, P-5).
Untuk \(g\in G\), Normalizer dari \(g\) dalam \(G\) adalah:
Lemma 2.8: \(N(g)\) adalah subgrup dari \(G\).
Tidak kosong: \(eg=ge\Rightarrow e\in N(g)\). ✔ Tertutup: Jika \(y,z\in N(g)\): \((yz)g=y(zg)=y(gz)=(yg)z=(gy)z=g(yz)\). ✔
Invers: Jika \(x\in N(g)\), maka \(xg=gx\Rightarrow x^{-1}g=gx^{-1}\), jadi \(x^{-1}\in N(g)\). ✔ \(\square\)
Center dari \(G\):
Lemma 2.10: \(Z_G\) adalah subgrup dari \(G\) (irisan subgrup-subgrup adalah subgrup).
Sifat: \(G\) Abelian \(\iff\) \(Z_G=G\).
Pada \(S_3\):
- \(N(g) = \{e,g,g^2\}\) (subgrup orde 3). \(N(f) = \{e,f\}\) (subgrup orde 2).
- \(Z_{S_3} = \{e\}\) — hanya identitas, karena \(S_3\) non-Abelian.
Pada \(Q_8\):
- \(Z_{Q_8} = \{1,-1\}\) — elemen \(1\) dan \(-1\) komutatif dengan semua elemen \(Q_8\).
- \(Z_{Q_8}\) lebih besar dari \(Z_{S_3}\), meski keduanya non-Abelian.
Misalkan \(G=\langle a\rangle\) grup siklik orde 10, \(H=\langle a^2\rangle\), \(K=\langle a^5\rangle\). Daftarkan elemen \(H\) dan \(K\), tentukan \(H\cap K\) dan \(HK\), dan periksa apakah keduanya subgrup dari \(G\).
Jika \(H\) subgrup \(G\), definisikan \(C(H)=\{x\in G\mid xh=hx\text{ untuk semua }h\in H\}\). Buktikan \(C(H)\) subgrup dari \(G\). Apa hubungan \(C(H)\), \(N(g)\), dan \(Z_G\)?
Misalkan \(N(H)=\{a\in G\mid aHa^{-1}=H\}\). Buktikan: (a) \(N(H)\) subgrup \(G\), dan (b) \(H\subseteq N(H)\). Apa artinya jika \(N(H)=G\)? (Ini embrio subgrup normal di P-6!)
📌 Prioritaskan membaca Herstein §2.4–§2.5 sebelum Pertemuan 5.