Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa mampu:
- Definisi dan kriteria subgrup (P-4).
- Koset kanan \(Ha\) dan koset kiri \(aH\), contoh di \(S_3\) (P-5).
- Teorema Lagrange dan partisi koset (P-5).
- Konjugat \(aHa^{-1}\) — preview dari P-4.
Bagian 1 — Subgrup Normal: Definisi dan Kriteria
Dari P-5: untuk \(N=\{e,g,g^2\}\) di \(S_3\) berlaku \(Nf=fN\), tetapi untuk \(H=\{e,f\}\) berlaku \(Hg\neq gH\). Yang membuat \(N\) istimewa: untuk setiap \(x\in S_3\) dan \(n\in N\), konjugat \(xnx^{-1}\) tetap di \(N\). Inilah definisi subgrup normal.
Subgrup \(N\) dari \(G\) dikatakan normal, ditulis \(N\trianglelefteq G\), jika:
Ekivalen: \(gNg^{-1}\subseteq N\) untuk setiap \(g\in G\).
Pernyataan berikut saling ekivalen untuk subgrup \(N\) dari \(G\):
| (i) | \(gNg^{-1}\subseteq N\) untuk setiap \(g\in G\) |
|---|---|
| (ii) | \(gNg^{-1}=N\) untuk setiap \(g\in G\) |
| (iii) | \(gN=Ng\) untuk setiap \(g\in G\) |
| (iv) | Setiap koset kiri = koset kanan dari \(N\) dalam \(G\) |
Jika \(gNg^{-1}\subseteq N\), ganti \(g\to g^{-1}\): \(g^{-1}Ng\subseteq N\). Maka \(N=g(g^{-1}Ng)g^{-1}\subseteq gNg^{-1}\). Jadi \(gNg^{-1}=N\). \(\square\)
Lemma 3.4: \(N\trianglelefteq G \iff gN=Ng\) untuk setiap \(g\in G\).
Lemma 3.5: Jika \(N\trianglelefteq G\), maka \((Na)(Nb)=N(ab)\) — perkalian koset terdefinisi dengan baik.
- Setiap subgrup grup Abelian normal: \(ghg^{-1}=gg^{-1}h=h\in H\). \(\square\)
- \(N=\{e,g,g^2\}\trianglelefteq S_3\): \([S_3:N]=2\) → indeks 2 selalu normal. Juga: \(fgf^{-1}=fgf=ffg^2=g^2\in N\). ✔
- \(H=\{e,f\}\) bukan normal di \(S_3\): \(gfg^{-1}=g^2f=fg\notin H\). ✗
- Subgrup indeks 2 selalu normal: Hanya ada dua koset, jadi kanan = kiri untuk setiap elemen.
- Center \(Z_G\trianglelefteq G\): Untuk \(z\in Z_G\): \(gzg^{-1}=z\in Z_G\). \(\square\)
Bukti sketsa: \(g(mn)g^{-1}=(gmg^{-1})(gng^{-1})\in MN\). \(\square\)
Bagian 2 — Grup Kuosien (Grup Faktor)
Misalkan \(N\trianglelefteq G\). Himpunan:
dengan operasi \((Na)(Nb)=N(ab)\) disebut grup kuosien (grup faktor) dari \(G\) oleh \(N\).
Jika \(G\) grup dan \(N\trianglelefteq G\), maka \(G/N\) dengan operasi \((Na)(Nb)=N(ab)\) membentuk grup.
Tertutup: Dari Lemma 3.5. ✔ Asosiatif: Diwarisi dari \(G\). ✔
Identitas: \(N=Ne\) karena \((Ne)(Na)=N(ea)=Na\). ✔
Invers: \((Na)(Na^{-1})=N(aa^{-1})=Ne=N\), jadi \((Na)^{-1}=Na^{-1}\). ✔ \(\square\)
Jika \(G\) grup hingga dan \(N\trianglelefteq G\):
Jika \(G\) Abelian, maka \(G/N\) juga Abelian. (\((Na)(Nb)=N(ab)=N(ba)=(Nb)(Na)\).)
(a) \(G=\mathbb{Z}\), \(N=H_5\): \(G/N=\{N,N+1,N+2,N+3,N+4\}\cong\mathbb{Z}_5\), \(o(G/N)=5\).
Secara umum: \(\mathbb{Z}/H_n\cong\mathbb{Z}_n\).
(b) \(G=S_3\), \(N=\{e,g,g^2\}\):
Koset: \(N=\{e,g,g^2\}\), \(Nf=\{f,gf,g^2f\}\). Tabel Cayley \(G/N\):
| \(\cdot\) | \(N\) | \(Nf\) |
| \(N\) | \(N\) | \(Nf\) |
| \(Nf\) | \(Nf\) | \(N\) |
\(G/N\cong\mathbb{Z}_2\), \(o(G/N)=2\). Identitas adalah \(N\), dan \((Nf)^{-1}=Nf\).
(c) \(G=S_3\), \(H=\{e,f\}\) (bukan normal): \(G/H=\{H,Hg,Hg^2\}\) memiliki 3 elemen tetapi bukan grup — operasinya tidak terdefinisi dengan baik karena \(H\not\trianglelefteq G\).
- Pemetaan proyeksi kanonik \(\phi:G\to G/N\), \(\phi(g)=Ng\), adalah homomorfisma dengan \(\ker\phi=N\).
- Di P-7: Teorema Homomorfisma menyatakan setiap \(f:G\to H\) menghasilkan \(G/\ker f\cong\text{Im}(f)\).
Misalkan \(N,M\trianglelefteq G\) dengan \(N\cap M=\{e\}\). Tunjukkan \(nm=mn\) untuk semua \(n\in N,m\in M\).
Jika \(T\) subgrup siklik normal dari \(G\), buktikan setiap subgrup dari \(T\) normal di \(G\).
Misalkan \(G=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}\mid a,d\in\mathbb{R}^*,b\in\mathbb{R}\right\}\) dan \(N=\left\{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}\right\}\). Buktikan \(N\trianglelefteq G\) dan \(G/N\) Abelian.
📌 Prioritaskan membaca Herstein §2.6 sebelum Pertemuan 7.