← Daftar pertemuan Struktur Aljabar
| UNIVERSITAS HALU OLEO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA Jln HEA Mokodompit, Kambu, Kendari, 93232, Indonesia |
|
UNIVERSITAS HALU OLEO — FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) |
| Mata Kuliah | Kode | Rumpun MK | Bobot SKS | Semester | Tanggal Penyusunan |
| STRUKTUR ALJABAR | PMT. 61027 | ALJABAR | T=3, P=0 | V | 3 – 9 – 2022 (rev. 2025) |
| Dosen Pengembang | Koordinator MK | Ketua Program Studi |
| Dr. Jafar, M.Si. Prof. Dr. H. Mohamad Salam, S.Pd., M.Si. Dr. Hafiludin S., S.Si., M.Sc. Wa Ode Indrawati, S.Pd., M.Pd. |
Dr. Jafar, M.Si. | Dr. Awaludin, S.Pd., M.Pd |
| Capaian Pembelajaran (CP) | ||
| CPL-PRODI yang Dibebankan pada MK | ||
| SN DIKTI | ASIIN | |
| (S1–S10) | ILO-1 | Menunjukkan sikap jujur, adil, dan bertanggung jawab sebagai hasil dari internalisasi nilai, norma, dan etika akademik. |
| (KU1–KU9) | ILO-3 | Menerapkan pemikiran logis, kritis, sistematis, mandiri, berkualitas, terukur, dan inovatif dalam konteks pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sesuai bidang keahliannya. |
| (KK1–KK9) | ILO-6 | Menerapkan konsep matematika (statistika, aljabar, geometri, kalkulus, dan analisis) dengan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (HOTS) dan 4-C (kritis, kreatif, kolaboratif, komunikatif) dalam pemecahan masalah. |
| (PP2)(PP3) | ILO-8 | Menerapkan konsep atau prosedur formal dalam matematika dasar dan lanjut untuk mendukung kompetensi profesional dan pedagogik. |
| CPL – Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) | ||
| CPL-1 | ILO-1 | CPMK-1: Mahasiswa mampu memahami struktur aljabar (grup dan gelanggang) secara bertanggung jawab dengan menerapkan prinsip pola berpikir konsisten. |
| CPL-3 | ILO-3 | CPMK-2: Mahasiswa dapat mengonstruksi sifat-sifat dasar dan sifat turunan dari struktur aljabar (grup dan gelanggang) dengan menerapkan prinsip berpikir logis secara terukur dan konsisten. |
| CPL-6 | ILO-6 | CPMK-3: Mahasiswa dapat mengonstruksi struktur/konsep turunan dari struktur aljabar (grup dan/atau gelanggang) secara bertanggung jawab dengan menerapkan prinsip berpikir kritis dan inovatif. |
| CPL-8 | ILO-8 | CPMK-4: Mahasiswa mampu mengonstruksi/menemukan fenomena yang membentuk struktur aljabar (grup/gelanggang) dalam pengalaman kognitifnya dengan menggunakan prinsip berpikir kritis dan analitis. |
| CPMK – Sub-CPMK | ||
| CPMK-1 | Sub-CPMK-1: Mahasiswa mampu menganalisis fondasi teori himpunan (himpunan, relasi ekivalen, fungsi) sebagai dasar struktur aljabar. | |
| Sub-CPMK-2: Mahasiswa mampu menguji apakah suatu himpunan yang dilengkapi sebuah operasi biner membentuk grup atau tidak. | ||
| Sub-CPMK-3: Mahasiswa mampu menguji apakah suatu himpunan yang dilengkapi dua operasi biner membentuk gelanggang atau tidak. | ||
| Sub-CPMK-4: Mahasiswa mampu mengklasifikasikan gelanggang yang memiliki sifat-sifat khusus (daerah integral, lapangan, gelanggang Euclid). | ||
| CPMK-2 | Sub-CPMK-5: Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat dasar grup. | |
| Sub-CPMK-6: Mahasiswa mampu mengklasifikasikan subgrup normal dari kumpulan subgrup yang diberikan. | ||
| Sub-CPMK-7: Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat dasar gelanggang. | ||
| Sub-CPMK-8: Mahasiswa mampu mengonstruksi ideal dari suatu gelanggang yang diberikan. | ||
| CPMK-3 | Sub-CPMK-9: Mahasiswa mampu mengonstruksi grup kuosien. | |
| Sub-CPMK-10: Mahasiswa mampu menguji suatu pemetaan dari satu grup ke grup lain yang memenuhi sifat homomorfisma grup. | ||
| Sub-CPMK-11: Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat dasar homomorfisma grup. | ||
| Sub-CPMK-12: Mahasiswa mampu mengonstruksi Teorema Isomorfisma Grup menggunakan sifat-sifat dasar homomorfisma grup. | ||
| Sub-CPMK-13: Mahasiswa mampu mengonstruksi gelanggang kuosien. | ||
| Sub-CPMK-14: Mahasiswa mampu menguji suatu pemetaan dari satu gelanggang ke gelanggang lain yang memenuhi sifat homomorfisma gelanggang. | ||
| Sub-CPMK-15: Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat dasar homomorfisma gelanggang. | ||
| Sub-CPMK-16: Mahasiswa mampu mengonstruksi teorema isomorfisma gelanggang menggunakan sifat-sifat dasar homomorfisma gelanggang. | ||
| CPMK-4 | Sub-CPMK-17: Mahasiswa mampu mengonstruksi lapangan hasil bagi \(F(D)\) dari suatu daerah integral \(D\). | |
| Sub-CPMK-18: Mahasiswa mampu mengidentifikasi dan menerapkan sifat-sifat gelanggang Euclid, termasuk hierarki Gelanggang Euclid \(\subset\) PID \(\subset\) UFD. | ||
| Deskripsi Singkat MK | Mata kuliah ini membahas: Teori Himpunan dan Relasi Ekivalen, Fungsi dan Bilangan Bulat, Definisi Grup dan Sifat-sifatnya, Subgrup, Koset dan Teorema Lagrange, Subgrup Normal dan Grup Kuosien, Homomorfisma Grup dan Teorema Isomorfisma Grup, Gelanggang dan Sifat-sifatnya, Gelanggang Khusus (Daerah Integral, Gelanggang Pembagian, Lapangan), Ideal dan Gelanggang Kuosien, Homomorfisma Gelanggang dan Teorema Isomorfisma Gelanggang, Lapangan Hasil Bagi Daerah Integral, serta Gelanggang Euclid. |
| Bahan Kajian / Materi Pembelajaran | 1. Fondasi: Teori Himpunan, Relasi Ekivalen, Fungsi, dan Aritmetika Bilangan Bulat 2. Grup: Definisi, Sifat-sifat Dasar, dan Subgrup 3. Subgrup Normal, Grup Kuosien, dan Teorema Lagrange 4. Homomorfisma dan Teorema Isomorfisma Grup 5. Gelanggang: Definisi, Sifat-sifat Dasar, Gelanggang Khusus, Ideal, dan Gelanggang Kuosien 6. Homomorfisma Gelanggang, Teorema Isomorfisma, Lapangan Hasil Bagi, dan Gelanggang Euclid |
| Referensi | Utama: [1] Herstein, I.N. Topics in Algebra. John Wiley and Sons, New York, 1975. Pendukung: [2] Gallian, J.A. Contemporary Abstract Algebra. Brooks/Cole, Cengage Learning, Boston, 2012. [3] Gilbert, L. & Gilbert, J. Elements of Modern Algebra. Cengage Learning, USA, 2013. [4] Sumber-sumber lain yang relevan. |
| Dosen Pengampu | Dr. Jafar, M.Si. | Prof. Dr. H. Mohamad Salam, S.Pd., M.Si. | Dr. Hafiludin S., S.Si., M.Sc. | Wa Ode Indrawati, S.Pd., M.Pd. |
| Mata Kuliah Prasyarat | Logika dan Himpunan | Teori Bilangan | Aljabar Linear |
| RENCANA PEMBELAJARAN | |||||||
| P | Sub-CPMK (Kemampuan Akhir yang Diharapkan) | Indikator | Kriteria & Teknik Penilaian | Luring | Daring | Materi Pembelajaran | Bobot (%) |
| 1 | Sub-CPMK-1: Mahasiswa mampu menganalisis fondasi teori himpunan dan relasi ekivalen sebagai dasar struktur aljabar. | 1. Menjelaskan operasi pada himpunan \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A\times B\). 2. Memverifikasi tiga sifat relasi ekivalen \(\sim\). 3. Mengonstruksi kelas ekivalen \([a]\) dan partisi yang dihasilkan. 4. Menghubungkan kelas ekivalen dengan struktur kuosien \(G/N\) dan \(R/U\). |
Teknik: Tes lisan, UTS, Tugas. Kriteria: Ketepatan dalam mengonstruksi kelas ekivalen dan partisi; kemampuan menghubungkan ke struktur kuosien. |
Tatap muka; Diskusi deduktif [1×3×50'] | PMM: ringkasan & catatan refleksi [1×3×60']. PMT: mengonstruksi kelas ekivalen dari relasi yang diberikan [1×3×60'] | Teori Himpunan & Relasi Ekivalen. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 5 |
| 2 | Sub-CPMK-1 & Sub-CPMK-2: Mahasiswa menganalisis fungsi dan aritmetika bilangan bulat; menguji apakah himpunan dengan operasi biner membentuk grup. | 1. Membedakan fungsi injektif, surjektif, dan bijektif. 2. Menghitung komposisi \(f\circ g\) dan invers \(f^{-1}\). 3. Menerapkan algoritma pembagian \(a=bq+r\) dan aritmetika modular \(\mathbb{Z}_n\). 4. Menguji apakah \((G,*)\) memenuhi empat aksioma grup. |
Teknik: Tes lisan, UTS, Tugas. Kriteria: Ketepatan mengklasifikasikan fungsi; kebenaran verifikasi aksioma grup. |
Tatap muka; Diskusi [1×3×50'] | PMM: ringkasan & refleksi [1×3×60']. PMT: menguji himpunan dengan operasi biner [1×3×60'] | Fungsi & Aritmetika Bilangan Bulat; Definisi Grup & Contoh-contoh. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 5 |
| 3 | Sub-CPMK-2: Mahasiswa mengonstruksi subgrup \(H\leq G\) dari grup yang diberikan. | 1. Menemukan semua subgrup dari grup yang diberikan. 2. Menerapkan uji subgrup satu langkah dan dua langkah. 3. Mengonstruksi subgrup siklik \(\langle a\rangle\). 4. Mengidentifikasi koset dari suatu subgrup. |
Teknik: Tes lisan, UTS, Tugas. Kriteria: Kemampuan menemukan subgrup; ketepatan enumerasi koset. |
Tatap muka [1×3×50'] | PMM [1×3×60']. PMT: mengonstruksi subgrup dari grup yang diberikan [1×3×60'] | Subgrup & Koset; Orde Grup & Orde Elemen. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 5 |
| 4–5 | Sub-CPMK-6 & Sub-CPMK-9: Mengklasifikasikan subgrup normal; mengonstruksi grup kuosien \(G/N\). | 1. Mendefinisikan subgrup normal \(N\trianglelefteq G\): kriteria \(gN=Ng\). 2. Menemukan subgrup normal dalam grup yang diberikan. 3. Mengonstruksi \(G/N\) dan memverifikasi membentuk grup. 4. Menerapkan Teorema Lagrange: \(|H|\mid|G|\). |
Teknik: Tes lisan, UTS, Tugas. Kriteria: Ketepatan mengidentifikasi subgrup normal; kebenaran konstruksi \(G/N\). |
Tatap muka [2×3×50'] | PMM [2×3×60']. PMT: menemukan subgrup normal dan mengonstruksi \(G/N\) [2×3×60'] | Subgrup Normal; Grup Kuosien. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 10 |
| 6 | Sub-CPMK-10 & Sub-CPMK-11: Menguji homomorfisma grup \(\phi:G\to\bar{G}\); membuktikan sifat-sifat dasarnya. | 1. Memverifikasi \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\) untuk pemetaan yang diberikan. 2. Menentukan \(\ker\phi\) dan \(\phi(G)\). 3. Membuktikan sifat-sifat dasar homomorfisma grup. 4. Mengidentifikasi isomorfisma menggunakan \(\ker\phi=\{e\}\). |
Teknik: Tes lisan, UTS, Tugas. Kriteria: Keterampilan menemukan homomorfisma; kemampuan membuktikan sifat-sifat dasarnya. |
Tatap muka [1×3×50'] | PMM [1×3×60']. PMT: menemukan pemetaan yang memenuhi sifat homomorfisma [1×3×60'] | Homomorfisma Grup; Sifat-sifat Dasar. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 10 |
| 7 | Sub-CPMK-12: Mengonstruksi Teorema Isomorfisma Grup \(G/\ker\phi\cong\phi(G)\). | 1. Membuktikan \(G/\ker\phi\cong\phi(G)\) (Teorema Isomorfisma Pertama). 2. Menerapkan teorema pada contoh-contoh konkret. 3. Membedakan grup-grup yang isomorfik. |
Teknik: Tes lisan, UTS, Tugas. Kriteria: Kemampuan mengonstruksi dan menerapkan Teorema Isomorfisma Grup. |
Tatap muka [1×3×50'] | PMM [1×3×60']. PMT: menemukan contoh penerapan Teorema Isomorfisma [1×3×60'] | Grup Isomorfik; Teorema Isomorfisma Grup. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 5 |
| 8 | Ujian Tengah Semester (UTS) — Mencakup materi P-1 s.d. P-7 | ||||||
| 9 | Sub-CPMK-3 & Sub-CPMK-7: Menguji apakah himpunan dengan dua operasi biner membentuk gelanggang \((R,+,\cdot)\); membuktikan sifat-sifat dasar. | 1. Menyebutkan aksioma gelanggang dan memverifikasi pada contoh yang diberikan. 2. Membuktikan sifat-sifat dasar: \(0\cdot a=0\), \((-a)b=-(ab)\), \((-a)(-b)=ab\). 3. Mengklasifikasikan gelanggang: komutatif, bersatuan, lapangan. |
Teknik: Tes lisan, UAS, Tugas. Kriteria: Ketepatan memverifikasi aksioma gelanggang dan membuktikan Lemma 9.1. |
Tatap muka [2×3×50'] | PMM [2×3×60']. PMT: menguji himpunan dengan dua operasi [2×3×60'] | Definisi Gelanggang & Contoh-contoh; Sifat-sifat Dasar Gelanggang. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 10 |
| 10 | Sub-CPMK-4: Mengklasifikasikan gelanggang khusus: daerah integral, gelanggang pembagian, dan lapangan. | 1. Mendefinisikan pembagi nol dan daerah integral. 2. Membedakan gelanggang pembagian dengan lapangan. 3. Menentukan karakteristik \(\text{char}(R)\); membuktikan karakteristik daerah integral adalah 0 atau prima. 4. Menempatkan gelanggang dalam hierarki: Gelanggang \(\supset\) Daerah Integral \(\supset\) Lapangan. |
Teknik: Tes lisan, UAS, Tugas. Kriteria: Kemampuan mengklasifikasikan gelanggang dan menentukan karakteristiknya. |
Tatap muka [1×3×50'] | PMM [1×3×60']. PMT: mengklasifikasikan gelanggang yang diberikan [1×3×60'] | Gelanggang Khusus: Daerah Integral, Gelanggang Pembagian, Lapangan. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 15 |
| 11–12 | Sub-CPMK-8 & Sub-CPMK-13: Mengonstruksi ideal \(U\trianglelefteq R\); membangun gelanggang kuosien \(R/U\). | 1. Mendefinisikan ideal dua-pihak: \(rU\subseteq U\) dan \(Ur\subseteq U\). 2. Menemukan ideal dari gelanggang yang diberikan (mis. \(n\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}\)). 3. Mengonstruksi \(R/U\) dan memverifikasi membentuk gelanggang (Lemma 11.1). 4. Menghitung contoh: \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\). |
Teknik: Tes lisan, UAS, Tugas. Kriteria: Ketepatan menemukan ideal; kebenaran konstruksi gelanggang kuosien. |
Tatap muka [2×3×50'] | PMM [2×3×60']. PMT: menemukan ideal dan mengonstruksi gelanggang kuosien [2×3×60'] | Ideal; Gelanggang Kuosien. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 10 |
| 13 | Sub-CPMK-14, 15 & 16: Menguji homomorfisma gelanggang \(\phi:R\to R'\); membuktikan sifat-sifatnya; mengonstruksi Teorema Isomorfisma Gelanggang \(R/K\cong\phi(R)\). | 1. Memverifikasi \(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\) dan \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\). 2. Membuktikan \(\ker\phi\) adalah ideal (Lemma 12.3). 3. Membuktikan \(R/K\cong\phi(R)\) (Teorema Isomorfisma Gelanggang). 4. Menerapkan Teorema Korespondensi: \(R/I\cong R'/I'\). |
Teknik: Tes lisan, UAS, Tugas. Kriteria: Kemampuan membuktikan Teorema Isomorfisma Gelanggang dan menerapkannya. |
Tatap muka [2×3×50'] | PMM [2×3×60']. PMT: menemukan homomorfisma dan menerapkan Teorema Isomorfisma [2×3×60'] | Homomorfisma Gelanggang; Teorema Isomorfisma Gelanggang. Ref: [1],[2],[3],[4]. | 10 |
| 14 | Sub-CPMK-17: Mengonstruksi lapangan hasil bagi \(F(D)\) dari daerah integral \(D\) (Herstein §3.6). | 1. Mendefinisikan himpunan \(S=\{(a,b)\mid a,b\in D,\,b\neq0\}\) dan relasi \((a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc\). 2. Mendefinisikan operasi pada kelas ekivalen \(\frac{a}{b}\) dan memverifikasi aksioma lapangan. 3. Membuktikan pembenaman kanonik \(\psi:D\to F(D)\), \(\psi(a)=\frac{a}{1}\), bersifat injektif. 4. Menyatakan dan menerapkan Teorema Keunikan: \(F(D)\) adalah lapangan terkecil yang memuat \(D\). 5. Mengilustrasikan: \(\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Z}[i]\hookrightarrow\mathbb{Q}(i)\). |
Teknik: Tes lisan, UAS, Tugas. Kriteria: Kebenaran konstruksi \(F(D)\); kemampuan memverifikasi aksioma lapangan dan membuktikan pembenaman. |
Tatap muka [1×3×50'] | PMM [1×3×60']. PMT: mengonstruksi \(F(D)\) untuk \(D=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) dan memverifikasi aksioma lapangan [1×3×60'] | Lapangan Hasil Bagi Daerah Integral (Herstein §3.6). Ref: [1],[2],[3],[4]. | 15 |
| 15 | Sub-CPMK-18: Mengidentifikasi gelanggang Euclid dan menempatkannya dalam hierarki Gelanggang Euclid \(\subset\) PID \(\subset\) UFD (Herstein §3.7). | 1. Mendefinisikan gelanggang Euclid melalui fungsi \(d\): \(a=bq+r\) dengan \(r=0\) atau \(d(r)<d(b)\). 2. Memverifikasi bahwa \(\mathbb{Z}\) (\(d(n)=|n|\)), \(\mathbb{Z}[i]\) (\(d(a+bi)=a^2+b^2\)), dan \(F[x]\) (\(d(f)=\deg f\)) adalah gelanggang Euclid. 3. Membuktikan setiap gelanggang Euclid adalah PID. 4. Menerapkan Algoritma Euclid dan Identitas Bezout: \(sa+tb=\gcd(a,b)\). 5. Mendefinisikan elemen prima vs tereduksi; menyatakan UFD; membangun hierarki. |
Teknik: Tes lisan, UAS, Tugas. Kriteria: Kemampuan memverifikasi sifat gelanggang Euclid; menerapkan Algoritma Euclid; menyatakan dan menggunakan hierarki. |
Tatap muka [1×3×50'] | PMM [1×3×60']. PMT: menerapkan Algoritma Euclid di \(\mathbb{Z}[i]\); mengklasifikasikan gelanggang dalam hierarki [1×3×60'] | Gelanggang Euclid, PID, UFD (Herstein §3.7). Ref: [1],[2],[3],[4]. | 10 |
| 16 | Ujian Akhir Semester (UAS) — Mencakup materi P-9 s.d. P-15 | ||||||
| Program Studi S1 Pendidikan Matematika • Universitas Halu Oleo • Kendari |