Struktur Aljabar › LKM › Pertemuan 1

LKM — Pertemuan 1

Teori Dasar Himpunan & Relasi Ekivalen · S1 Pendidikan Matematika UHO

⏱ 50:00
👥 Semi-Terbimbing ⏱ ±50–65 menit 👤 Kelompok 3–4 orang 📣 Presentasi minimal 1 nomor
Petunjuk: Kerjakan dalam kelompok (3–4 orang). Setiap kelompok mempresentasikan minimal 1 nomor. Gunakan pertanyaan pemandu sebagai titik awal — bebas berkembang lebih jauh! Setelah selesai, simpan pekerjaan Anda (screenshot atau salin ke dokumen kelompok).

⬡ Bagian A — Operasi dan Sifat Himpunan

A.1  |  Eksplorasi Himpunan Bilangan

Misalkan \(A = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \text{ genap}\}\), \(B = \{n \in \mathbb{Z} \mid 3 \mid n\}\), \(C = \{n \in \mathbb{Z} \mid 6 \mid n\}\).

Tugas: Buktikan \(A \cap B = C\).

🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Untuk \(A \cap B = C\), apa dua hal yang harus ditunjukkan?
  2. Ambil \(x \in A \cap B\). Apa artinya? Dapatkah Anda tunjukkan \(x \in C\)?
  3. Ambil \(x \in C\). Dapatkah Anda tunjukkan \(x \in A\) sekaligus \(x \in B\)?
📝 Tulis argumen pembuktian kelompok Anda:
🌱 Eksplorasi: Jika \(p, q\) prima berbeda, \(A = p\mathbb{Z}\), \(B = q\mathbb{Z}\), apa yang dapat disimpulkan tentang \(A \cap B\)?
A.2  |  Sifat Distributif Himpunan

Buktikan: \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) menggunakan argumen keanggotaan.

🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Ambil \(x \in A \cup (B \cap C)\). Ada dua kasus: \(x \in A\) atau \(x \in B \cap C\). Apa yang dapat disimpulkan untuk masing-masing kasus?
  2. Apakah pada kedua kasus, \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\)?
  3. Untuk arah sebaliknya: jika \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\) dan \(x \notin A\), apa yang bisa disimpulkan?
📝 Tulis pembuktian dua arah di sini:
A.3  |  Hukum Cancellation pada Irisan

Jika \(A \cap B = A \cap C\), apakah pasti \(B = C\)?

🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Coba buat contoh dengan \(A = \{1,2\}\), lalu pilih \(B \neq C\) tetapi \(A \cap B = A \cap C\). Mungkin?
  2. Kondisi khusus apa yang membuat implikasi ini selalu berlaku?
📝 Tulis contoh penyangkal atau kondisi khususnya:

⬡ Bagian B — Relasi Ekivalen dan Kelas Ekivalen

B.1  |  Memverifikasi Relasi Ekivalen

Pada \(\mathbb{Z}\), definisikan: \(a \sim b \Leftrightarrow a^2 \equiv b^2 \pmod{5}\).

(a) Buktikan \(\sim\) adalah relasi ekivalen.   (b) Tentukan semua kelas ekivalen.

🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Untuk refleksif: apakah \(a^2 \equiv a^2 \pmod{5}\) selalu benar?
  2. Untuk simetris: jika \(5 \mid (a^2 - b^2)\), apakah \(5 \mid (b^2 - a^2)\)?
  3. Hitung \(0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2 \pmod{5}\). Nilai mana yang sama?
  4. Berapa banyak kelas ekivalen yang terbentuk?
📝 Tulis pembuktian dan daftar kelas ekivalen:
B.2  |  Relasi Ekivalen di Bidang Datar

Pada \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), definisikan: \((x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) \Leftrightarrow x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\).

(a) Tunjukkan \(\sim\) adalah relasi ekivalen.   (b) Deskripsikan secara geometris \([(0,0)]\), \([(1,0)]\), \([(2,1)]\).

🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Apa arti geometris \(x^2 + y^2 = r^2\)? Kurva apa yang terbentuk?
  2. Dua titik berelasi jika nilai \(x^2 + y^2\)-nya sama — apa artinya secara geometri?
  3. Dapatkah \((\mathbb{R} \times \mathbb{R})/{\sim}\) diidentifikasi dengan \([0,\infty)\)?
📝 Tulis pembuktian dan deskripsi geometris:
B.3  |  Dari Partisi ke Relasi Ekivalen

Diberikan \(A = \{1,2,3,4,5,6,7\}\) dengan partisi \(\mathcal{P} = \big\{\{1,2\},\,\{3,5\},\,\{4,6\},\,\{7\}\big\}\).

(a) Tuliskan semua pasangan \((a,b)\) dalam relasi ekivalen yang bersesuaian.  (b) Berapa total pasangan?

🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Dari Teorema 2.1: \(a \sim b \Leftrightarrow\) \(a\) dan \(b\) berada di blok yang sama.
  2. Untuk blok \(\{1,2\}\): tuliskan semua pasangan termasuk \((1,1)\) dan \((2,2)\).
  3. Untuk blok singleton \(\{7\}\): berapa pasangan yang muncul?
📝 Tulis daftar semua pasangan dan hitung totalnya:
← Pre-Test P-1 Beranda Stural →