Informasi Lembar Kerja
Membuktikan Sifat Komposisi Fungsi
Misalkan \(f: A \to B\) dan \(g: B \to C\) adalah dua fungsi. Kita akan menyelidiki bagaimana sifat injektif/surjektif dipindahkan melalui komposisi \(g \circ f\).
Asumsikan \(f\) dan \(g\) keduanya injektif. Kita harus membuktikan \(g \circ f\) injektif, yaitu:
\[ (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \implies x_1 = x_2 \]Asumsikan \(f\) dan \(g\) keduanya surjektif. Buktikan \(g \circ f: A \to C\) surjektif, yaitu untuk setiap \(c \in C\) ada \(a \in A\) dengan \((g \circ f)(a) = c\).
Jika \(g \circ f\) injektif, apakah \(g\) pasti injektif? Apakah \(f\) pasti injektif?
Petunjuk: Coba contoh konkret \(A=\{1,2\}\), \(B=\{1,2,3\}\), \(C=\{a,b\}\).
Eksplorasi Permutasi pada \(S_3\)
Definisikan dua permutasi pada \(\{1,2,3\}\):
\[ \sigma = \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}, \quad \tau = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix} \]Ingat: \((\sigma \circ \tau)(x) = \sigma(\tau(x))\) — terapkan \(\tau\) dulu, kemudian \(\sigma\).
Hitung secara eksplisit untuk setiap \(x \in \{1,2,3\}\):
| \(x\) | \(\tau(x)\) | \(\sigma(\tau(x))\) | \((\sigma\circ\tau)(x)\) |
|---|---|---|---|
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 |
Isi tabel di atas, lalu tuliskan hasil \(\sigma\circ\tau\) dan \(\tau\circ\sigma\) sebagai permutasi:
Hitung \(\sigma^2 = \sigma \circ \sigma\), lalu \(\sigma^3 = \sigma^2 \circ \sigma\).
Tentukan invers \(\tau^{-1}\) sehingga \(\tau \circ \tau^{-1} = e\). (Petunjuk: balik baris pada notasi dua-baris.)
\(S_3\) memiliki 6 elemen: \(e, \sigma, \sigma^2, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau\). Lengkapi tabel Cayley berikut (baris = elemen pertama, kolom = elemen kedua, isi = komposisi baris ∘ kolom):
| ∘ | \(e\) | \(\sigma\) | \(\sigma^2\) | \(\tau\) | \(\sigma\tau\) | \(\sigma^2\tau\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(e\) | ||||||
| \(\sigma\) | ||||||
| \(\sigma^2\) | ||||||
| \(\tau\) | ||||||
| \(\sigma\tau\) | ||||||
| \(\sigma^2\tau\) |
Algoritma Euclid dan Identitas Bézout
Algoritma Euclid: untuk \(a, b \in \mathbb{Z}^+\), secara berulang terapkan \(a = bq + r\) sampai \(r = 0\). Nilai \(r\) terakhir yang tak-nol adalah \(\gcd(a,b)\).
Identitas Bézout menjamin ada \(s, t \in \mathbb{Z}\) dengan \(as + bt = \gcd(a,b)\).
Nyatakan \(\gcd(360, 210)\) sebagai kombinasi linier \(360s + 210t\) menggunakan substitusi balik dari langkah 1.
Hitung \(360 \cdot s + 210 \cdot t\) dengan nilai \(s, t\) yang Anda peroleh dan pastikan hasilnya = \(\gcd(360,210)\).
Aritmetika Modular dan \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)
Dalam \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = \{[0],[1],[2],[3],[4],[5]\}\), operasi didefinisikan sebagai:
\[ [a] + [b] = [a+b \mod 6], \quad [a] \cdot [b] = [a \cdot b \mod 6] \]Hitung dalam \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\):
- \([4]+[5] = [\,\cdot\,]\)
- \([3]\cdot[4] = [\,\cdot\,]\)
- \([5]^2 = [5]\cdot[5] = [\,\cdot\,]\)
Suatu \([a] \neq [0]\) disebut pembagi nol jika ada \([b] \neq [0]\) dengan \([a]\cdot[b]=[0]\).
Cek: apakah \([2],[3],[4]\) merupakan pembagi nol? Tunjukkan pasangannya.
Di \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), cek apakah ada pembagi nol. Misalnya: \([2]\cdot[?]=[0]\)?
Hipotesis: Mengapa \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) tidak memiliki pembagi nol jika dan hanya jika \(n\) prima?
Menghubungkan Fungsi dan Kongruensi
Definisikan \(\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) dengan \(\varphi(a) = [a]\) (kelas kongruensi \(a \bmod n\)).
Apakah \(\varphi\) well-defined? Artinya, jika \(a = b\) apakah \(\varphi(a) = \varphi(b)\)?
Tentukan apakah \(\varphi\) surjektif, injektif, atau keduanya. Berikan argumen atau contoh penyangkal.
Buktikan bahwa \(\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)\) untuk semua \(a, b \in \mathbb{Z}\).
Dalam LKM ini kita menghubungkan tiga konsep: komposisi fungsi, permutasi, dan kongruensi modular.
- Bagaimana sifat injektif/surjektif "dilestarikan" (atau tidak) oleh komposisi?
- Apa yang membuat \(S_3\) menarik secara aljabar dibandingkan \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)?
- Bagaimana \(\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) menggabungkan konsep fungsi dan kongruensi?