Informasi Lembar Kerja
Petunjuk Umum
Kerjakan dalam kelompok (3–4 orang). Setiap kelompok presentasikan minimal 1 nomor. Gunakan pertanyaan pemandu sebagai titik awal — bebas berkembang lebih jauh!
Memeriksa Aksioma Grup
Untuk setiap himpunan berikut dengan operasi yang didefinisikan, periksa apakah membentuk grup. Jika ya, apakah Abelian?
- (a) \(G = \mathbb{Z}\) dengan \(a * b = a - b\) (pengurangan biasa).
- (b) \(G = \mathbb{Z}^+\) (bilangan bulat positif) dengan perkalian biasa.
- (c) \(G = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6\}\) dengan \(a^i \cdot a^j = a^{(i+j)\bmod 7}\).
- (d) \(G = \mathbb{Q}^*\) (bilangan rasional tak-nol) dengan perkalian biasa.
Empat aksioma grup: G1 Tertutup · G2 Asosiatif · G3 Identitas · G4 Invers. Cukup satu aksioma gagal → bukan grup!
- Untuk kasus (a): hitung \(1*(2*3)\) vs \((1*2)*3\). Apakah \(*\) asosiatif?
- Untuk kasus (b): apakah 2 memiliki invers perkalian di \(\mathbb{Z}^+\)?
- Untuk kasus (c): hitung \(a^5 \cdot a^4\). Apakah hasilnya masih di \(G\)? Apa elemen identitasnya? Apa invers \(a^3\)?
- Untuk kasus (d): apakah setiap \(q \in \mathbb{Q}^*\) punya invers perkalian di \(\mathbb{Q}^*\)?
Tabel Cayley dan Grup Hingga
Misalkan \(G = \{e, a, b, c\}\) dengan tabel Cayley berikut:
| \(\cdot\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
|---|---|---|---|---|
| \(e\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
| \(a\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(e\) |
| \(b\) | \(b\) | \(c\) | \(e\) | \(a\) |
| \(c\) | \(c\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) |
(a) Verifikasi \(G\) adalah grup. (b) Tentukan invers setiap elemen. (c) Apakah \(G\) Abelian? (d) Dengan grup apa yang sudah dipelajari, \(G\) ini serupa?
- Identitas: baris/kolom mana yang sama persis dengan header (baris/kolom \(e\))?
- Invers: untuk setiap \(x\), cari \(y\) pada tabel sehingga \(x \cdot y = e\). Baca langsung dari tabel!
- Abelian: cek simetri tabel terhadap diagonal utama — apa artinya jika \(T[i][j] = T[j][i]\) untuk semua \(i,j\)?
Susun tabel Cayley untuk \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)\) dengan elemen \([0],[1],[2],[3]\). Bandingkan dengan tabel \(G\) di atas!
Membuktikan Sifat Grup
Buktikan: Jika \(G\) adalah grup sedemikian sehingga \((ab)^2 = a^2b^2\) untuk semua \(a,b \in G\), maka \(G\) Abelian.
- Tulis \((ab)^2 = abab\) dan \(a^2b^2 = aabb\). Dari \(abab = aabb\), apa yang bisa dioperasikan?
- Kalikan kiri dengan \(a^{-1}\) dan kanan dengan \(b^{-1}\): apa yang tersisa?
- Apa yang Anda simpulkan dari langkah itu? Apakah ini menunjukkan \(G\) Abelian?
Eksplorasi \(S_3\)
Pada \(S_3\), temukan dua unsur \(x, y \in S_3\) sehingga \((xy)^2 \neq x^2y^2\). Apa yang dapat disimpulkan?
- Ambil \(\sigma = \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\) dan \(\tau = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\). Hitung \((\sigma\tau)^2\) dan \(\sigma^2\tau^2\) secara eksplisit.
- Hubungkan dengan hasil B.1: apa yang disimpulkan tentang \(S_3\)?
- Berapa banyak unsur \(x \in S_3\) yang memenuhi \(x^2 = e\)? (Petunjuk: cek semua 6 elemen.)
Tunjukkan: jika setiap \(g \in G\) memenuhi \(g^2 = e\), maka \(G\) harus Abelian.
Petunjuk: perhatikan \((ab)^2 = e\), artinya \(abab = e\). Kalikan dengan \(a\) dari kiri dan \(b\) dari kanan.
Grup Abelian dan Pangkat
Buktikan: Jika \(G\) grup Abelian, maka \((ab)^n = a^n b^n\) untuk semua \(a, b \in G\) dan \(n \in \mathbb{N}\).
- Basis \(n=1\): \((ab)^1 = ab = a^1b^1\). Trivial. ✓
- Langkah induksi: Misalkan \((ab)^k = a^kb^k\) benar. Tunjukkan \((ab)^{k+1} = a^{k+1}b^{k+1}\). (Petunjuk: \((ab)^{k+1} = (ab)^k \cdot ab\), lalu ganti hipotesis induksi.)
- Di mana sifat komutatif \(ab = ba\) digunakan secara esensial? Identifikasi barisnya!