Misalkan \(\phi:\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}\) didefinisikan oleh \(\phi(f(x))=f(0)\) (evaluasi di \(x=0\)).

1. Tunjukkan bahwa \(\phi\) homomorfisma gelanggang dan surjektif.
2. Tentukan \(K=\ker\phi\). Petunjuk: \(f(0)=0\) artinya \(f\) tidak mempunyai suku konstan.
3. Simpulkan dari Teorema 12.2 bahwa \(\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}[x]/K\).

Dari homomorfisma \(\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{12}\) dengan \(K=12\mathbb{Z}\), daftarkan semua ideal dari \(\mathbb{Z}\) yang memuat \(12\mathbb{Z}\) dan pasangkan dengan ideal-ideal dari \(\mathbb{Z}_{12}\).

Dari \(\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_6\) surjektif dengan \(K=6\mathbb{Z}\), ambil \(I'=\{[0],[2],[4]\}\) (ideal \(\mathbb{Z}_6\)) dan \(I=\phi^{-1}(I')=2\mathbb{Z}\).

1. Tentukan \(\mathbb{Z}/I=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) — berapa banyak elemennya?
2. Tentukan \(\mathbb{Z}_6/I'=\mathbb{Z}_6/\{[0],[2],[4]\}\) — berapa banyak elemennya?
3. Verifikasi Teorema 5.3: \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_6/\{[0],[2],[4]\}\).