📝 LKM Pertemuan 14

Pada \(D=\mathbb{Z}\), tentukan apakah pasang berikut saling ekivalen, dan verifikasi sifat refleksif, simetris, transitif:

1. Apakah \((2,3)\sim(4,6)\)? Apakah \((1,2)\sim(3,7)\)?
2. Jika \((1,2)\sim(2,4)\) dan \((2,4)\sim(3,6)\), buktikan \((1,2)\sim(3,6)\).
3. Mengapa sifat daerah integral penting untuk membuktikan transitivitas?

Gunakan definisi: \((a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc\). Untuk transitivitas, asumsikan \(ad=bc\) dan \(cf=de\), lalu tunjukkan \(af=be\) menggunakan hukum kanselasi.

Di lapangan \(\mathbb{Q}(i)\) (hasil bagi dari gelanggang Gaussian \(\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\)), hitunglah:

1. \(\dfrac{1+i}{2}+\dfrac{1-i}{3}\)
2. \(\dfrac{2+i}{1+i}\cdot\dfrac{1-i}{2}\)
3. Tentukan invers perkalian dari \(\dfrac{1+i}{2}\) di \(\mathbb{Q}(i)\).

Ingat: penjumlahan \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\), perkalian \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\), invers dari \(\frac{a}{b}\) adalah \(\frac{b}{a}\) (untuk \(a\neq 0\)).

\(\mathbb{Z}_p\) untuk \(p\) prima adalah lapangan (karena \(\mathbb{Z}_p\) daerah integral hingga).

1. Apa yang dapat disimpulkan tentang \(F(\mathbb{Z}_p)\)?
2. Dapatkah setiap \(\dfrac{[a]}{[b]}\in F(\mathbb{Z}_p)\) ditulis sebagai elemen \(\mathbb{Z}_p\)?
3. Apakah \(F(D)\) selalu lebih besar dari \(D\)?

Petunjuk: Karena \(\mathbb{Z}_p\) lapangan, setiap \([b]\neq[0]\) memiliki invers \([b]^{-1}\in\mathbb{Z}_p\). Jadi \(\frac{[a]}{[b]}=[a]\cdot[b]^{-1}\in\mathbb{Z}_p\). Apa kesimpulannya untuk ukuran \(F(D)\) vs \(D\)?