Bahan Ajar · Struktur Aljabar (Aljabar Abstrak) · 3 SKS
📚 Herstein §3.6 | 🎓 S1 Pendidikan Matematika – UHO | ✍️ Dr. Jafar, M.Si.
\(\mathbb{Z}\) adalah daerah integral yang tidak memiliki invers perkalian untuk elemen seperti \(2\). Namun kita dapat "memperbesar" \(\mathbb{Z}\) menjadi \(\mathbb{Q}\) dengan cara memperbolehkan pembagian. Konstruksi serupa berlaku untuk daerah integral apa pun — hasilnya disebut lapangan hasil bagi (field of quotients).
A. Konstruksi \(F(D)\)
Misalkan \(D\) daerah integral. Definisikan \(S=\{(a,b)\mid a,b\in D,\,b\neq0\}\).
Langkah 1 — Relasi Ekivalen
Definisikan \((a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc\). Relasi ini adalah relasi ekivalen pada \(S\).
Bukti transitif: Jika \(ad=bc\) dan \(cf=de\), maka dengan mengalikan persamaan pertama oleh \(f\) dan persamaan kedua oleh \(b\): \(adf=bcf=bde\). Karena \(d\neq0\) dan \(D\) daerah integral, hukum kanselasi memberikan \(af=be\). \(\square\)
Langkah 2 — Elemen dan Operasi
Kelas ekivalen dari \((a,b)\) dinotasikan \(\dfrac{a}{b}\). Lapangan hasil bagi:
\[F(D)=\left\{\frac{a}{b}\,\middle|\,a,b\in D,\,b\neq0\right\}.\]Operasi:
| Penjumlahan: | \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}\) |
| Perkalian: | \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\) |
Kedua operasi well-defined dan \(bd\neq0\) karena \(D\) daerah integral.
Teorema (Herstein §3.6) — \(F(D)\) adalah Lapangan
\(F(D)\) dengan operasi di atas membentuk lapangan. Aksioma-aksioma utama:
| Unsur nol: | \(\dfrac{0}{1}\) |
| Invers penjumlahan: | \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}\) |
| Unsur satuan: | \(\dfrac{1}{1}\) |
| Invers perkalian: | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a}\) untuk \(a\neq0\) |
Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif diwariskan dari \(D\). \(\square\)
B. Pembenaman Kanonik
Teorema — \(D\) Isomorfik dengan Subgelanggang \(F(D)\)
Pemetaan \(\psi:D\to F(D)\) dengan \(\psi(a)=\dfrac{a}{1}\) adalah homomorfisma gelanggang yang injektif. Jadi \(D\cong\psi(D)\subseteq F(D)\).
Bukti. \(\psi(a+b)=\dfrac{a+b}{1}=\dfrac{a}{1}+\dfrac{b}{1}=\psi(a)+\psi(b)\). \(\psi(ab)=\dfrac{ab}{1}=\dfrac{a}{1}\cdot\dfrac{b}{1}=\psi(a)\psi(b)\). Injektif: \(\psi(a)=\psi(b)\Rightarrow\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{1}\Rightarrow a\cdot1=b\cdot1\Rightarrow a=b\). \(\square\)
C. Keunikan \(F(D)\)
Teorema Keunikan
Jika \(F\) lapangan yang memuat \(D\) sebagai subgelanggang, maka terdapat homomorfisma injektif \(\Phi:F(D)\to F\) yang memenuhi \(\Phi\!\left(\dfrac{a}{1}\right)=a\) untuk semua \(a\in D\).
Bukti. Definisikan \(\Phi\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=ab^{-1}\) (invers \(b\) ada di \(F\)). Well-defined: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\Rightarrow ab^{-1}=cd^{-1}\). Injektif: \(ab^{-1}=0\Rightarrow a=0\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{0}{1}\). \(\square\)
Akibat: \(F(D)\) adalah lapangan terkecil yang memuat \(D\). Jika \(D\) sendiri sudah lapangan, maka \(F(D)\cong D\).
D. Contoh-Contoh
| Daerah Integral \(D\) | \(F(D)\) |
|---|---|
| \(\mathbb{Z}\) | \(\mathbb{Q}\) |
| \(\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\) | \(\mathbb{Q}(i)=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Q}\}\) |
| \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) | \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}\) |
| \(F\) lapangan | \(F(F)\cong F\) |
Soal 1–2 dasar, soal 3–4 menengah, soal 5–6 tantangan.
Soal 1 (Dasar)
Tunjukkan secara eksplisit bahwa \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{17}{12}\) di \(F(\mathbb{Z})\), lalu tunjukkan \(\dfrac{17}{12}\sim\dfrac{34}{24}\).
Soal 2 (Dasar)
Tentukan \(F(\mathbb{Z}[\sqrt{3}])\). Nyatakan \(\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}\) dalam bentuk \(a+b\sqrt{3}\) dengan \(a,b\in\mathbb{Q}\).
Soal 3 (Menengah)
Buktikan bahwa penjumlahan di \(F(D)\) bersifat well-defined: jika \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}\) dan \(\dfrac{c}{d}=\dfrac{c'}{d'}\), maka \(\dfrac{ad+bc}{bd}=\dfrac{a'd'+b'c'}{b'd'}\).
Soal 4 (Menengah)
Buktikan bahwa \((F(D),+)\) merupakan grup Abelian dengan memeriksa semua aksioma: ketertutupan, asosiatifitas, identitas \(\dfrac{0}{1}\), dan invers \(\dfrac{-a}{b}\).
Soal 5 (Tantangan)
Buktikan Teorema Keunikan secara lengkap: jika \(\phi:D\to F\) homomorfisma injektif ke lapangan \(F\), maka terdapat homomorfisma injektif tunggal \(\Phi:F(D)\to F\) dengan \(\Phi\circ\psi=\phi\).
Soal 6 (Pengayaan)
Misalkan \(D=\mathbb{Q}[x]\) (gelanggang polinomial). Elemen \(F(\mathbb{Q}[x])\) disebut fungsi rasional. Tuliskan tiga elemen \(F(\mathbb{Q}[x])\) yang tidak ada di \(\mathbb{Q}[x]\), dan hitung penjumlahannya.