📝 LKM Pertemuan 15

Gunakan Algoritma Euclid untuk menentukan \(\gcd(252,180)\), kemudian nyatakan \(\gcd\) sebagai kombinasi linear \(s\cdot252+t\cdot180\).

1. Lakukan pembagian berulang sampai sisa = 0.
2. Backtrack untuk mendapatkan \(s\) dan \(t\).
3. Verifikasi: hitung \(s\cdot252+t\cdot180\) dan pastikan hasilnya \(\gcd(252,180)\).

Bagi \(\alpha=8+i\) oleh \(\beta=2+3i\) di \(\mathbb{Z}[i]\). Temukan \(q,r\in\mathbb{Z}[i]\) dengan \(\alpha=\beta q+r\) dan \(d(r)<d(\beta)\).

1. Hitung \(\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{(8+i)(2-3i)}{|2+3i|^2}\) dan sederhanakan.
2. Bulatkan ke bilangan Gauss terdekat \(q\).
3. Hitung \(r=\alpha-\beta q\) dan verifikasi \(d(r)<d(\beta)=13\).

Ingat: \(d(\beta)=|2+3i|^2=4+9=13\). Sisa \(r\) harus memenuhi \(d(r)=|r|^2<13\).

Di \(\mathbb{Z}\) (PID), tentukan ideal \((6)+(10)\) dan \((6)\cap(10)\).

1. Tunjukkan bahwa \((6)+(10)=(\gcd(6,10))\). Tentukan nilai \(\gcd(6,10)\).
2. Tunjukkan bahwa \((6)\cap(10)=(\text{lcm}(6,10))\). Tentukan nilai \(\text{lcm}(6,10)\).
3. Gunakan Identitas Bezout untuk menyatakan \(\gcd(6,10)\) sebagai kombinasi linear \(6s+10t\).

Petunjuk: \(\gcd(6,10)=2\) dan \(\text{lcm}(6,10)=30\). Untuk Bezout: cari \(s,t\in\mathbb{Z}\) dengan \(6s+10t=2\).