LKM · Pertemuan 4

Subgrup: Definisi, Kriteria, Irisan, Normalizer & Center

MK Struktur Aljabar Semi-Terbimbing ±55 menit ⏱ 55:00

Informasi Lembar Kerja

Kelompok: 3–4 orang
Metode: Diskusi, eksplorasi & presentasi
Capaian: Kriteria subgrup, irisan, normalizer, center, konjugat
Simpan: Jawaban tersimpan otomatis

Petunjuk Umum

Kerjakan dalam kelompok (3–4 orang). Setiap kelompok presentasikan minimal 1 nomor. Gunakan pertanyaan pemandu sebagai titik awal — bebas berkembang lebih jauh!

Bagian A Definisi dan Kriteria Subgrup
A.1

Membuktikan Subgrup

Terapkan Lemma 2.2 atau Lemma 2.3 pada empat kasus

Untuk setiap kasus berikut, periksa apakah \(H\) subgrup dari \(G\). Gunakan Lemma 2.2 (tiga syarat: tertutup, identitas, invers) atau Lemma 2.3 (one-step: \(ab^{-1} \in H\)).

  • (a) \(G = (\mathbb{Q}^*, \cdot)\), \(H = \{2^n \mid n \in \mathbb{Z}\}\)
  • (b) \(G = (\mathbb{R}, +)\), \(H = \mathbb{Z}\)
  • (c) \(G = (\mathbb{R}^*, \cdot)\), \(H = \{x \in \mathbb{R}^* \mid x > 0\}\)
  • (d) \(G = GL_2(\mathbb{R})\), \(H = \left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & d\end{pmatrix} \;\middle|\; a, d \neq 0\right\}\) (matriks diagonal invertibel)
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Gunakan Lemma 2.3: periksa \(ab^{-1} \in H\) untuk semua \(a, b \in H\). Apa bentuk \(b^{-1}\) di masing-masing kasus?
  2. Kasus (a): \((2^m) \cdot (2^n)^{-1} = 2^m \cdot 2^{-n} = 2^{m-n}\). Apakah \(2^{m-n} \in H\)?
  3. Kasus (b): apakah \(m - n \in \mathbb{Z}\) untuk \(m, n \in \mathbb{Z}\)? Apa identitas dan invers di \((\mathbb{R}, +)\)?
  4. Kasus (d): periksa apakah hasil kali dua matriks diagonal masih diagonal dan determinannya tak nol.
Jawaban kasus (a) — \(G = (\mathbb{Q}^*, \cdot)\), \(H = \{2^n \mid n \in \mathbb{Z}\}\):
✓ Tersimpan
Jawaban kasus (b) — \(G = (\mathbb{R}, +)\), \(H = \mathbb{Z}\):
✓ Tersimpan
Jawaban kasus (c) — \(G = (\mathbb{R}^*, \cdot)\), \(H = \{x \in \mathbb{R}^* \mid x > 0\}\):
✓ Tersimpan
Jawaban kasus (d) — \(G = GL_2(\mathbb{R})\), \(H\) matriks diagonal:
✓ Tersimpan
A.2

Subgrup Hingga dari \(S_3\)

Temukan semua subgrup, verifikasi dengan Lemma 2.4, dan eksplorasi \(H \cup K\)

Pada \(S_3 = \{e, g, g^2, f, fg, fg^2\}\) dengan \(g = (1\;2\;3)\) dan \(f = (1\;2)\), tentukan semua subgrup dari \(S_3\). Verifikasi setiap subgrup menggunakan Lemma 2.4 (subgrup hingga: cukup periksa tertutup).

🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Subgrup trivial: \(\{e\}\) dan \(S_3\) sendiri selalu merupakan subgrup dari grup apapun.
  2. Subgrup orde 2: cari \(x \in S_3\) dengan \(x^2 = e\) dan \(x \neq e\). Apakah \(\{e, x\}\) tertutup?
  3. Subgrup orde 3: cari \(x\) dengan \(x^3 = e\) dan \(x \neq e\). Apakah \(\{e, x, x^2\}\) tertutup?
  4. Bisakah ada subgrup orde 4 atau 5? (Petunjuk: gunakan Teorema Lagrange — orde subgrup harus membagi \(|S_3| = 6\).)
Daftar semua subgrup dari \(S_3\) dan verifikasinya:
✓ Tersimpan
🌱 Eksplorasi — Apakah \(H \cup K\) Selalu Subgrup?

Ambil \(H = \{e, f\}\) dan \(K = \{e, fg\}\) di \(S_3\). Periksa apakah \(H \cup K = \{e, f, fg\}\) merupakan subgrup.

✓ Tersimpan
Bagian B Irisan, Normalizer, dan Center
B.1

Irisan dan Hasil Kali Subgrup

Kaitkan \(H \cap K\) dan \(H + K\) di \((\mathbb{Z}, +)\) dengan KPK dan FPB

Pada \((\mathbb{Z}, +)\), misalkan \(H = H_4 = \{4k \mid k \in \mathbb{Z}\}\) dan \(K = H_6 = \{6k \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

  • (a) Tunjukkan \(H \cap K\) adalah subgrup. Himpunan apa?
  • (b) Apakah \(H + K = \{h + k \mid h \in H, k \in K\}\) juga subgrup? Identifikasi himpunannya!
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Bilangan yang merupakan kelipatan 4 sekaligus kelipatan 6 adalah kelipatan KPK\((4, 6)\). Hitung KPK\((4, 6)\)!
  2. Bilangan yang bisa ditulis \(4m + 6n\) untuk suatu \(m, n \in \mathbb{Z}\) — kaitkan dengan Identitas Bezout: \(\{4m + 6n\} = \text{FPB}(4, 6) \cdot \mathbb{Z}\)!
  3. Pola umum: \(H_m \cap H_n = H_{\text{KPK}(m,n)}\) dan \(H_m + H_n = H_{\text{FPB}(m,n)}\). Verifikasi untuk \(m = 4, n = 6\)!
Jawaban lengkap (a) dan (b):
✓ Tersimpan
B.2

Normalizer dan Center

Eksplorasi \(Q_8\): hitung \(N(\langle i \rangle)\), \(Z_{Q_8}\), dan bandingkan dengan \(Z_{S_3}\)

Pada \(Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}\) dengan aturan \(ij = k\), \(jk = i\), \(ki = j\), \(ji = -k\), \(kj = -i\), \(ik = -j\), dan \((-1)^2 = 1\).

  • (a) Tentukan \(N(\langle i \rangle)\) = normalizer dari \(\langle i \rangle = \{1, -1, i, -i\}\) di \(Q_8\).
  • (b) Tentukan \(Z_{Q_8}\) (center dari \(Q_8\)).
  • (c) Bandingkan \(Z_{Q_8}\) dengan \(Z_{S_3}\). Apa kesimpulannya?
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. \(N(\langle i \rangle) = \{x \in Q_8 \mid x\langle i \rangle x^{-1} = \langle i \rangle\}\). Periksa untuk setiap \(x \in Q_8\) apakah \(xi = ix\) (artinya \(x\) komutatif dengan \(i\)). Ingat: \(ij = k\) tetapi \(ji = -k\).
  2. \(Z_{Q_8}\): elemen mana yang komutatif dengan semua elemen \(Q_8\)? Periksa \(1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\).
  3. Apa kesimpulan tentang hubungan \(Z_G\) dan sifat Abelian/non-Abelian dari \(G\)?
Jawaban (a), (b), dan (c):
✓ Tersimpan
🌱 Eksplorasi — \(Z_G\) Selalu Subgrup Abelian

Buktikan bahwa \(Z(G)\) selalu merupakan subgrup Abelian dari \(G\), dan tunjukkan bahwa \(Z(G) = G\) jika dan hanya jika \(G\) Abelian.

✓ Tersimpan
B.3

Konjugat Subgrup

Buktikan \(aHa^{-1}\) subgrup dan hitung konjugat di \(S_3\)

Misalkan \(H\) subgrup dari \(G\) dan \(a \in G\). Definisikan \(aHa^{-1} = \{aha^{-1} \mid h \in H\}\).

  • (a) Buktikan \(aHa^{-1}\) adalah subgrup dari \(G\).
  • (b) Pada \(S_3\), ambil \(H = \{e, f\}\) (dengan \(f = (1\;2)\)) dan \(a = g = (1\;2\;3)\). Hitung \(gHg^{-1}\). Apakah \(gHg^{-1} = H\)?
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Gunakan Lemma 2.3: untuk \(x = aha^{-1}\) dan \(y = aka^{-1}\) di \(aHa^{-1}\), hitung \(xy^{-1}\). Apa bentuk \(y^{-1}\)?
  2. Hitung \(g \cdot e \cdot g^{-1}\) dan \(g \cdot f \cdot g^{-1}\) secara eksplisit. Ingat \(g = (1\;2\;3)\) dan \(f = (1\;2)\).
  3. Jika \(aHa^{-1} = H\) untuk semua \(a \in G\), apa yang istimewa dari \(H\)? (Preview topik subgrup normal di P-6.)
Bukti (a): \(aHa^{-1}\) adalah subgrup dari \(G\)
✓ Tersimpan
Perhitungan (b): \(gHg^{-1}\) di \(S_3\)
✓ Tersimpan
← Pre-Test P-4 Pre-Test P-5 →