LKM P-5 · Koset, Teorema Lagrange & Orde Elemen

Struktur Aljabar · PMT.61027 · UHO Semi-Terbimbing · ±55 menit · Kelompok 3–4
Bagian A — Koset dan Partisi
A.1 Menentukan dan Menganalisis Koset
Misalkan \(G=(\mathbb{Z}_{12},+)\) dan \(H=\langle4\rangle=\{0,4,8\}\).
  1. Daftarkan semua koset kiri dari \(H\) dalam \(G\).
  2. Berapa \([G:H]\)?
  3. Verifikasi koset membentuk partisi dari \(G\).
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Hitung \(0+H,\;1+H,\;2+H,\;3+H\). Apakah \(4+H=0+H\)?
  2. Berapa banyak koset berbeda? Itu adalah \([G:H]\).
🌱 Eksplorasi

Tentukan semua subgrup \(\mathbb{Z}_{12}\) dan indeks masing-masing.

A.2 Koset Kanan vs Koset Kiri di \(S_3\)
Pada \(S_3\), \(H=\{e,f\}\).
  1. Hitung semua koset kanan \(He,\;Hg,\;Hg^2\).
  2. Hitung semua koset kiri \(eH,\;gH,\;g^2H\).
  3. Apakah \(Hg=gH\)?
  4. Bandingkan dengan koset \(N=\{e,g,g^2\}\).
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. \(Hg=\{g,fg\}\). \(gH=\{g,gf\}\). Apakah \(fg=gf\)?
  2. Untuk \(N\): hitung \(Nf\) dan \(fN\). Apakah sama sebagai himpunan?
Bagian B — Teorema Lagrange dan Orde Elemen
B.1 Menerapkan Teorema Lagrange
  1. Grup \(G\) berorde 36 — apa saja kemungkinan orde subgrup \(H\)?
  2. Bisakah ada subgrup orde 8?
  3. Kemungkinan orde elemen di \(G\)?
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Semua pembagi positif dari 36!
  2. 8 tidak membagi 36 — hitung \(36\div8\).
B.2 Orde Elemen dalam Berbagai Grup
Tentukan orde setiap elemen dan verifikasi semua orde membagi orde grupnya.
  1. \((\mathbb{Z}_8,+)\)
  2. \(Q_8\)
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Untuk \(\mathbb{Z}_8\): orde \([k]=\dfrac{8}{\gcd(k,8)}\).
  2. Untuk \(Q_8\): \(i^2=-1\), \(i^4=1\). Orde \(i\)? Orde \(-1\)?
🌱 Eksplorasi

\(Q_8\) dan \(\mathbb{Z}_8\) berorde 8. Apakah isomorfik? Bandingkan struktur orde elemen!

B.3 Grup Berorde Prima
Misalkan \(o(G)=7\).
  1. Subgrup apa saja yang mungkin?
  2. Buktikan setiap \(a\neq e\) menghasilkan \(\langle a\rangle=G\).
  3. Orde elemen non-identitas?
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Pembagi 7 hanya 1 dan 7.
  2. Untuk \(a\neq e\): \(\langle a\rangle\) berordo berapa? Satu-satunya pilihan?