Materi P-5 · Koset & Teorema Lagrange

🎯 Capaian Pembelajaran Pertemuan (CPP)

CPP-5.1

Mendefinisikan kongruensi modulo \(H\), koset kanan \(Ha\) dan koset kiri \(aH\), serta memberikan contoh-contohnya.

CPP-5.2

Membuktikan sifat-sifat koset: kongruensi adalah relasi ekivalen, koset membentuk partisi dari \(G\), dan setiap dua koset berkorespondensi satu-satu.

CPP-5.3

Membuktikan dan menerapkan Teorema Lagrange serta akibat-akibatnya tentang orde elemen dan grup berorde prima.

CPP-5.4

Mendefinisikan orde elemen, menghitung orde elemen dalam grup konkret, dan menerapkan indeks subgrup \(i_G(H)\).

✅ Pengetahuan Prasyarat

Definisi subgrup dan kriteria Lemma 2.2 dan 2.3 (P-4).
Contoh subgrup: \(H_n \leq (\mathbb{Z},+)\) dan subgrup siklik \(\langle a \rangle\) (P-4).
Konsep relasi ekivalen, kelas ekivalen, dan partisi (P-1).
Fungsi bijektif dan korespondensi satu-satu (P-2).

Bagian 1 — Kongruensi Modulo H dan Koset

Definisi 3.1 | Kongruensi Modulo \(H\)

Misalkan \(G\) grup dan \(H\) subgrup dari \(G\). Untuk \(a,b\in G\), \(a\) kongruen \(b\) modulo \(H\), ditulis \(a\equiv b\pmod{H}\), jika \(ab^{-1}\in H\).

Kelas kongruensi dari \(a\):

\[ [a]_H = \{x\in G \mid ax^{-1}\in H\} \]

Lemma 3.2 | Kongruensi Modulo \(H\) adalah Relasi Ekivalen

Relasi \(a\equiv b\pmod{H}\) adalah relasi ekivalen pada \(G\).

Bukti

Refleksif: \(aa^{-1}=e\in H\). ✔
Simetris: Jika \(ab^{-1}\in H\), maka \(ba^{-1}=(ab^{-1})^{-1}\in H\). ✔
Transitif: Jika \(ab^{-1}\in H\) dan \(bc^{-1}\in H\), maka \(ac^{-1}=(ab^{-1})(bc^{-1})\in H\). ✔ □

Definisi 3.3 | Koset Kanan dan Koset Kiri

Misalkan \(H\) subgrup dari \(G\), \(a\in G\):

Koset Kanan

\(Ha = \{ha \mid h\in H\}\)

Koset Kiri

\(aH = \{ah \mid h\in H\}\)

Catatan: Pada grup Abelian, \(Ha=aH\) untuk setiap \(a\). Pada grup non-Abelian, \(Ha\neq aH\) umumnya.

Contoh 3.1 | Koset pada Berbagai Grup

(a) \(G=(\mathbb{Z},+)\), \(H=H_3=3\mathbb{Z}\):

\(H+0=H=\{\ldots,-3,0,3,\ldots\}\), \(H+1=\{3n+1\mid n\in\mathbb{Z}\}\), \(H+2=\{3n+2\mid n\in\mathbb{Z}\}\). Tiga koset membentuk partisi \(\mathbb{Z}\) dan bersesuaian dengan \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\).

(b) \(S_3\), \(H=\{e,f\}\):

Koset kanan: \(He=\{e,f\}\), \(Hg=\{g,fg\}\), \(Hg^2=\{g^2,fg^2\}\).

Koset kiri: \(eH=\{e,f\}\), \(gH=\{g,gf\}\), \(g^2H=\{g^2,g^2f\}\).

Perhatikan \(Hg\neq gH\)!

(c) \(S_3\), \(N=\{e,g,g^2\}\):

\(Nf=\{f,gf,g^2f\}\) dan \(fN=\{f,fg,fg^2\}\). Sebagai himpunan \(Nf=fN\) — karena \(N\) adalah subgrup normal (topik P-6)!

Lemma 3.4 & 3.5 | Sifat-Sifat Koset

\(Ha=[a]_H\): koset kanan adalah kelas kongruensi dari \(a\).
Jika \(a\in H\), maka \(Ha=H\).
Dua koset kanan berbeda adalah saling lepas.
Semua koset kanan membentuk partisi dari \(G\).
Lemma 3.5: Terdapat bijeksi antara setiap dua koset kanan — semua koset memiliki tepat \(o(H)\) elemen.

Bagian 2 — Teorema Lagrange dan Akibat-Akibatnya

⭐ Teorema 3.6 | Teorema Lagrange

Jika \(G\) grup hingga dan \(H\) subgrup dari \(G\), maka \(o(H)\) membagi \(o(G)\). Terdapat \(k\in\mathbb{N}\) sehingga

\[ o(G) = k \cdot o(H). \]

Bukti

Dari Lemma 3.5: setiap koset kanan memiliki tepat \(o(H)\) elemen. Dari Lemma 3.4: semua koset saling lepas dan mencakup \(G\). Jika \(k\) adalah banyak koset berbeda, maka \(o(G)=k\cdot o(H)\). □

Definisi 3.7 | Indeks Subgrup

Indeks \(H\) dalam \(G\), dinotasikan \(i_G(H)=[G:H]\), adalah banyaknya koset kanan berbeda dari \(H\) dalam \(G\).

Untuk \(G\) hingga:

\[ [G:H] = \dfrac{o(G)}{o(H)}. \]

Korolari 3.8 | Akibat Teorema Lagrange

1. Orde elemen membagi orde grup: Untuk \(G\) hingga dan \(a\in G\), \(o(a)\mid o(G)\). (\(\langle a\rangle\) subgrup dengan \(o(\langle a\rangle)=o(a)\), lalu Lagrange.)
2. \(a^{o(G)}=e\): Karena \(o(G)=m\cdot o(a)\), maka \(a^{o(G)}=(a^{o(a)})^m=e\).
3. Grup berorde prima siklik: Jika \(o(G)=p\) prima, maka untuk setiap \(a\neq e\), \(\langle a\rangle=G\). (Tidak ada pilihan lain karena pembagi \(p\) hanya 1 dan \(p\).)

Contoh 3.2 | Aplikasi Teorema Lagrange

(a) Subgrup \(S_3\) dengan \(o(S_3)=6\): Orde subgrup yang mungkin adalah 1, 2, 3, 6. Tidak mungkin ada subgrup berorde 4 atau 5.

(b) Orde elemen di \(S_3\): \(o(e)=1\), \(o(g)=o(g^2)=3\), \(o(f)=o(fg)=o(fg^2)=2\). Semua membagi 6. ✔

(c) Teorema Fermat Kecil: Untuk \(p\) prima dan \(\gcd(a,p)=1\):

\[ a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}. \]

Ini adalah Korolari 3.8(2) diterapkan pada \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\) yang berorde \(p-1\).

Bagian 3 — Orde Elemen

Definisi 3.9 | Orde Elemen

Untuk \(a\in G\), orde dari \(a\), dinotasikan \(o(a)\) atau \(|a|\), adalah bilangan bulat positif terkecil \(m\) sehingga \(a^m=e\). Jika tidak ada bilangan bulat positif demikian, maka \(a\) berorde tak hingga.

Contoh 3.3 | Menghitung Orde Elemen

(a) \(\mathbb{Z}_{12}\): Orde \([k]=\dfrac{12}{\gcd(k,12)}\).

Elemen	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[6]
Orde	1	12	6	4	3	2

(b) \((\mathbb{Z},+)\): Setiap \(n\neq0\) berorde tak hingga.

(c) \(S_3\): \(o(e)=1,\;\) \(o(g)=o(g^2)=3,\;\) \(o(f)=o(fg)=o(fg^2)=2\). ✔

🔗 Koneksi Menuju P-6: Subgrup Normal & Grup Kuosien

Pada Contoh 3.1(c), \(Nf=fN\) untuk \(N=\{e,g,g^2\}\) di \(S_3\). Subgrup dengan sifat \(Ha=aH\) untuk semua \(a\in G\) disebut subgrup normal — topik utama P-6.
Partisi koset subgrup normal membentuk Grup Kuosien \(G/N\) — fondasi Teorema Homomorfisma di P-7.
Indeks \([G:N]=o(G/N)\).

✏️ Latihan Soal Mandiri individual · dikumpulkan pada P-6

Daftarkan semua koset kanan \(H=\langle a^2\rangle\) dalam \(G=\langle a\rangle\) (siklik orde 10). Tentukan \([G:H]\).
Jika \([G:H]=2\), buktikan \(Ha=aH\) untuk setiap \(a\in G\).
⭐ Menengah Tentukan orde setiap elemen \(U(12)=\{[1],[5],[7],[11]\}\) dengan perkalian modulo 12. Apakah \(U(12)\) siklik?
Misalkan \(G\) grup hingga berorde genap. Buktikan ada \(a\neq e\) dengan \(a^2=e\).
🔥 Tantangan Untuk \(H,K\) subgrup \(G\) hingga, buktikan \(\displaystyle|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}\).
✨ Pengayaan Buktikan Teorema Fermat Kecil via Teori Grup: untuk \(p\) prima dan \(\gcd(a,p)=1\), tunjukkan \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\).

📖 Rujukan Bacaan P-5

[1] Herstein, I. N. (2006). Topics in Algebra (2nd ed.). §2.5 & §2.7. Referensi Utama
[2] Gallian, J. A. (2021). Contemporary Abstract Algebra (10th ed.). Bab 7.
[3] Fraleigh, J. B. (2014). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Section 10.
[4] Susilo, F. (2012). Aljabar Abstrak: Teori Grup. Bab 4.

📌 Prioritaskan membaca Herstein §2.5 sebelum Pertemuan 6.