Lembar Kerja Mahasiswa · Struktur Aljabar · 3 SKS

LKM P-6 · Subgrup Normal & Grup Kuosien

👥 Semi-Terbimbing · ±55 menit · Kelompok 3–4 orang

⏱ 55:00
Petunjuk: Kerjakan dalam kelompok (3–4 orang). Diskusikan setiap tugas bersama, lalu presentasikan minimal 1 nomor di depan kelas. Jawaban tersimpan otomatis di browser.
⬡ Bagian A — Memverifikasi Subgrup Normal
A.1 Normal atau Bukan?
Untuk setiap kasus, periksa apakah \(N\) subgrup normal dari \(G\). Gunakan kriteria yang paling efisien.
  1. \(G=(\mathbb{R}^*,\cdot)\), \(N=\{1,-1\}\).
  2. \(G=S_3\), \(N=\{e,fg\}\) (subgrup orde 2).
  3. \(G=GL_2(\mathbb{R})\), \(N=SL_2(\mathbb{R})=\{A\in GL_2(\mathbb{R})\mid\det A=1\}\).
  4. \(G=Q_8\), \(N=\{1,-1,i,-i\}\).
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Kasus (a) dan (d): apakah \(G\) Abelian? Kalau ya, langsung simpulkan!
  2. Kasus (b): coba \(g\cdot fg\cdot g^{-1}\). Apakah hasilnya di \(N\)?
  3. Kasus (c): \(\det(ABA^{-1})=\det A\cdot\det B\cdot\det A^{-1}\). Berapa nilainya?
JAWABAN KELOMPOK
A.2 Subgrup Indeks 2 Selalu Normal
Buktikan: jika \([G:H]=2\), maka \(H\trianglelefteq G\).
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Jika \([G:H]=2\), ada berapa koset kanan berbeda? Sebutkan keduanya!
  2. Kasus \(a\in H\): koset kanan \(Ha=?\) dan koset kiri \(aH=?\)
  3. Kasus \(a\notin H\): koset kanan \(Ha\) adalah sisa \(G\setminus H\). Bagaimana dengan \(aH\)?
BUKTI
🌱 Eksplorasi
Berikan contoh subgrup indeks 2 di \(S_3\), \(D_4\), dan \(\mathbb{Z}_6\).
EKSPLORASI
⬡ Bagian B — Konstruksi dan Analisis Grup Kuosien
B.1 Konstruksi G/N dan Tabel Cayley
Misalkan \(G=\mathbb{Z}_{12}\) dan \(N=\{0,4,8\}=\langle 4\rangle\).
  1. Daftarkan semua elemen \(G/N\).
  2. Buat tabel Cayley \(G/N\).
  3. Dengan grup apa \(G/N\) isomorfik?
  4. Verifikasi \(o(G/N)=o(G)/o(N)\).
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Koset: \(N+0=N\), \(N+1=?\), \(N+2=?\), \(N+3=?\). Apakah \(N+4=N\)?
  2. Operasi: \((N+1)+(N+2)=N+(1+2)=N+3\). Lanjutkan untuk semua pasangan!
  3. Bandingkan tabel Cayley dengan \(\mathbb{Z}_3=\{[0],[1],[2]\}\).
JAWABAN KELOMPOK
B.2 Mengapa Normalitas Diperlukan?
Pada \(S_3\), \(H=\{e,f\}\) dengan \([S_3:H]=3\). Coba definisikan operasi \((Ha)(Hb)=H(ab)\).
  1. Hitung \((He)(Hg)\) dan \((Hg)(He)\). Apakah masuk akal?
  2. Hitung \((Hg)(Hg)\). Apakah hasilnya unik (tidak bergantung pada representan)?
  3. Coba \((Hf)(Hg)\) dengan representan berbeda. Apakah hasilnya konsisten?
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. Untuk operasi terdefinisi baik: jika \(Ha=Ha'\) dan \(Hb=Hb'\), harus \(H(ab)=H(a'b')\).
  2. Ambil \(a=e\in He=H\) dan \(a'=f\in He\). Lihat apakah hasilnya sama.
  3. Mengapa ini gagal untuk \(H=\{e,f\}\) tapi tidak gagal untuk \(N=\{e,g,g^2\}\)?
JAWABAN KELOMPOK
B.3 Q₈/Z(Q₈) dan Grup Kuosien
Misalkan \(G=Q_8\) dan \(N=Z_{Q_8}=\{1,-1\}\).
  1. Verifikasi \(N\trianglelefteq Q_8\).
  2. Daftarkan elemen \(Q_8/N\).
  3. Buat tabel Cayley \(Q_8/N\).
  4. Apakah \(Q_8/N\) Abelian? Dengan grup apa isomorfik?
🔷 Pertanyaan Pemandu
  1. \(N=Z_{Q_8}\trianglelefteq Q_8\) — mengapa? (Pusat selalu normal.)
  2. Koset: \(N\cdot 1=N=\{1,-1\}\), \(N\cdot i=\{i,-i\}\), \(N\cdot j=?\), \(N\cdot k=?\).
  3. Orde \(Q_8/N\)? Bandingkan dengan Klein four-group \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\).
JAWABAN KELOMPOK
🌱 Eksplorasi
Meski \(Q_8\) non-Abelian, \(Q_8/N\) Abelian. Bisakah \(G/N\) Abelian padahal \(G\) non-Abelian? Berikan contoh lain atau bantahan!
EKSPLORASI
Terakhir disimpan: —