Pre-Test Pertemuan 7 — Homomorfisma Grup

Pemetaan \(f: G \to \bar{G}\) disebut homomorfisma grup jika ...

• A.  \(f\) adalah fungsi bijektif
• B.  \(f(ab) = f(a)f(b)\) untuk semua \(a, b \in G\)
• C.  \(f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\)
• D.  \(f(G) = \bar{G}\)

Jika \(f: G \to \bar{G}\) homomorfisma dan \(e\) identitas di \(G\), maka \(f(e) = \) ...

• A.  \(e\) (identitas di \(G\))
• B.  \(\bar{e}\) (identitas di \(\bar{G}\))
• C.  Bergantung pada definisi \(f\)
• D.  Tidak terdefinisi

Kernel dari homomorfisma \(f: G \to \bar{G}\) adalah ...

• A.  Bayangan dari \(f\), yaitu \(f(G) = \{f(x) \mid x \in G\}\)
• B.  \(\ker f = \{x \in G \mid f(x) = \bar{e}\}\)
• C.  \(\ker f = \{x \in G \mid f(x) = e\}\) (\(e\) identitas \(G\))
• D.  \(\ker f = G \setminus f^{-1}(\bar{e})\)

Jika \(f: G \to \bar{G}\) homomorfisma dengan kernel \(K\), maka \(K\) adalah ...

• A.  Subgrup dari \(\bar{G}\)
• B.  Subgrup normal dari \(G\)
• C.  Subgrup dari \(G\) tetapi belum tentu normal
• D.  Subgrup normal dari \(\bar{G}\)

Pemetaan \(f: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^*, \cdot)\) dengan \(f(x) = 3^x\) merupakan homomorfisma karena ...

• A.  \(f\) adalah fungsi bijektif
• B.  \(f(a+b) = 3^{a+b} = 3^a \cdot 3^b = f(a) \cdot f(b)\)
• C.  \(f(a \cdot b) = 3^{ab} = 3^a \cdot 3^b\)
• D.  \(f(0) = 0\)

Homomorfisma \(f: G \to \bar{G}\) merupakan isomorfisma jika dan hanya jika ...

• A.  \(f\) surjektif
• B.  \(\ker f = \{e_G\}\)
• C.  \(\ker f = G\)
• D.  \(f(G) = \ker f\)

Teorema Homomorfisma (Teorema 4.12) menyatakan: jika \(f: G \to \bar{G}\) homomorfisma dengan kernel \(K\), maka ...

• A.  \(G \cong \bar{G}\)
• B.  \(G/K \cong f(G)\)
• C.  \(G/K \cong \bar{G}\) selalu
• D.  \(K \cong f(G)\)

Misalkan \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_5\), \(f(n) = n \bmod 5\). Kernel dari \(f\) adalah ...

• A.  \(\{0\}\)
• B.  \(5\mathbb{Z} = \{\ldots, -10, -5, 0, 5, 10, \ldots\}\)
• C.  \(\mathbb{Z}_5\)
• D.  \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\)

Proyeksi kanonik \(\varphi: G \to G/N\), \(\varphi(g) = Ng\) adalah homomorfisma dengan sifat ...

• A.  Injektif dan surjektif (isomorfisma)
• B.  Surjektif dengan \(\ker\varphi = N\)
• C.  Injektif dengan \(\ker\varphi = \{e\}\)
• D.  Bukan homomorfisma jika \(N \neq \{e\}\)

Dari Teorema Homomorfisma, \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_5\) diperoleh melalui \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_5\), \(f(n) = n \bmod 5\). Isomorfisma \(h: \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_5\) yang dijamin Teorema 4.12 didefinisikan oleh ...

• A.  \(h([n]) = 5n\)
• B.  \(h(5\mathbb{Z} + n) = n \bmod 5\)
• C.  \(h(n) = n + 5\mathbb{Z}\)
• D.  \(h(5\mathbb{Z} + n) = 5 - n\)