LKM P-7 — Homomorfisma Grup

Petunjuk Pengerjaan: Kerjakan dalam kelompok 3–4 orang. Setiap kelompok wajib mempresentasikan minimal 1 nomor. Jawaban Anda tersimpan otomatis di browser. Referensi: Herstein §2.7, Materi P-7.

Bagian A — Memverifikasi Homomorfisma dan Menentukan Kernel

A.1 | Homomorfisma atau Bukan?

Verifikasi definisi · identifikasi kernel · sifat injektif/surjektif

Tentukan apakah setiap pemetaan berikut merupakan homomorfisma. Jika ya, tentukan kernel dan apakah pemetaan tersebut injektif, surjektif, atau keduanya.

(a) \(f: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +)\), \(f(n) = 3n\)
(b) \(g: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^+, \cdot)\), \(g(x) = e^x\)
(c) \(h: (\mathbb{Z}_{12}, +) \to (\mathbb{Z}_4, +)\), \(h([n]_{12}) = [n]_4\)
(d) \(\varphi: S_3 \to \mathbb{Z}_6\), \(\varphi(g^j) = j\) dan \(\varphi(fg^j) = j + 3\) untuk \(j = 0,1,2\)

Pertanyaan Pemandu

Kasus (a): Cek \(f(m+n) = 3(m+n) = 3m + 3n = f(m) + f(n)\). ✔ Lalu: \(\ker f = \{n \mid 3n = 0\} = ?\). Apakah injektif? Apakah surjektif (apakah setiap bilangan bulat tercapai)?
Kasus (c): Cek \(h([m]_{12} + [n]_{12}) = h([m+n]_{12}) = [m+n]_4 = [m]_4 + [n]_4 = h([m]_{12}) + h([n]_{12})\). ✔ Kernel: \(\ker h = \{[n]_{12} \mid 4 \mid n\} = \{[0],[4],[8]\}\). Indeks koset: \(|\mathbb{Z}_{12}|/|\ker h| = 12/3 = 4\). Apakah surjektif?
Kasus (d): Uji \(\varphi(fg \cdot g) = \varphi(fg^2)\) dibanding \(\varphi(fg)\varphi(g)\). Apakah \(S_3 \cong \mathbb{Z}_6\)? (Petunjuk: bandingkan sifat komutatif kedua grup!)

Jawaban — Verifikasi dan Analisis Tiap Pemetaan

🔍 Eksplorasi

Untuk kasus (d): apakah \(S_3 \cong \mathbb{Z}_6\)? Bandingkan sifat komutativitas! \(\mathbb{Z}_6\) adalah grup Abelian, sedangkan \(S_3\) ... (apa?). Apa kesimpulan Anda tentang \(\varphi\)?

Eksplorasi — Analisis Kasus (d)

A.2 | Kernel = Subgrup Normal: Verifikasi Langsung

Bukti Lemma 4.6 pada contoh konkret · Aplikasi Teorema 4.12

Misalkan \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_5\), \(f(n) = n \bmod 5\).

(a)Tunjukkan bahwa \(f\) adalah homomorfisma surjektif.
(b)Tentukan \(K_f = \ker f\) secara eksplisit.
(c)Verifikasi bahwa \(K_f \trianglelefteq \mathbb{Z}\) secara langsung (tanpa menggunakan Lemma 4.6).
(d)Terapkan Teorema 4.12: \(\mathbb{Z}/K_f \cong\) ?

Pertanyaan Pemandu

\(K_f = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \equiv 0 \pmod{5}\} = 5\mathbb{Z} = \{\ldots, -10, -5, 0, 5, 10, \ldots\}\).
\(\mathbb{Z}\) adalah grup Abelian, jadi setiap subgrupnya normal secara otomatis. Tetapi coba verifikasi langsung: untuk setiap \(m \in \mathbb{Z}\) dan \(k \in K_f\), apakah \(m + k - m \in K_f\)?
Teorema 4.12: \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_5\). Ini mengkonfirmasi fakta yang sudah dipelajari di P-6!

Jawaban — Pembuktian dan Kesimpulan

Bagian B — Menerapkan Teorema Homomorfisma

B.1 | Identifikasi Isomorfisma via Teorema 4.12

Pola: definisi f → verifikasi homomorfisma → ker f → simpulkan dari Teorema 4.12

Untuk setiap kasus, temukan homomorfisma yang tepat dan terapkan Teorema Homomorfisma untuk membuktikan isomorfisma berikut:

(1) Buktikan \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n\) menggunakan homomorfisma reduksi \(f(k) = k \bmod n\).
(2) Buktikan \((\mathbb{R}^+, \cdot) \cong (\mathbb{R}, +)\) menggunakan \(f(x) = \ln x\).
(3) Misalkan \(G = \mathbb{Z}_{12}\) dan \(H = \{[0],[4],[8]\}\). Tunjukkan \(G/H \cong \mathbb{Z}_3\).

Pertanyaan Pemandu

Pola umum (4 langkah): (i) Definisikan \(f\). (ii) Verifikasi \(f\) homomorfisma. (iii) Tentukan \(\ker f\). (iv) Simpulkan dari Teorema 4.12: \(G/\ker f \cong f(G)\).
Kasus (2): \(f(xy) = \ln(xy) = \ln x + \ln y = f(x) + f(y)\). ✔ Kernel: \(\ker f = \{x \in \mathbb{R}^+ \mid \ln x = 0\} = \{1\}\). Apa artinya ini bagi \(f\)?
Kasus (3): Gunakan \(f: \mathbb{Z}_{12} \to \mathbb{Z}_3\), \(f([n]_{12}) = [n]_3\). Tunjukkan \(\ker f = H\). Lalu dari Teorema 4.12: \(\mathbb{Z}_{12}/H \cong \mathbb{Z}_3\). ✔

Jawaban — Pembuktian Lengkap Tiap Kasus

B.2 | Diagram Komutasi

Visualisasi Teorema 4.12 · Verifikasi \(f = h \circ \varphi\)

Untuk \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_4\), \(f(n) = n \bmod 4\):

(a)Tentukan \(K = \ker f\) dan tuliskan koset-kosetnya.
(b)Definisikan \(h: \mathbb{Z}/K \to \mathbb{Z}_4\) dari Teorema 4.12 dan verifikasi bahwa \(h\) well-defined.
(c)Verifikasi \(f = h \circ \varphi\) untuk \(\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/K\) proyeksi kanonik. Uji dengan \(n = 5, 7, 11\).
(d)Gambar diagram komutasi: \(\mathbb{Z} \xrightarrow{f} \mathbb{Z}_4\), \(\mathbb{Z} \xrightarrow{\varphi} \mathbb{Z}/K \xrightarrow{h} \mathbb{Z}_4\).

Pertanyaan Pemandu

\(K = 4\mathbb{Z} = \{\ldots,-8,-4,0,4,8,\ldots\}\). Empat koset: \(K\), \(K+1\), \(K+2\), \(K+3\).
\(h(K+n) = n \bmod 4\). Well-defined: jika \(K+m = K+n\) maka \(4 \mid (m-n)\), sehingga \(m \equiv n \pmod 4\), artinya \(h(K+m) = m\bmod 4 = n\bmod 4 = h(K+n)\). ✔
Cek: \(h(\varphi(5)) = h(K+5) = h(K+1) = 1 = 5\bmod 4 = f(5)\). ✔ Lakukan juga untuk \(n=7\) dan \(n=11\).

Jawaban — Detail h, Verifikasi, dan Diagram

🔍 Eksplorasi

Teorema 4.12 juga dikenal sebagai First Isomorphism Theorem. Ada juga Second dan Third Isomorphism Theorem dalam teori grup. Cari tahu apa pernyataan keduanya dan bagaimana hubungannya dengan Teorema 4.12!

Eksplorasi — Second & Third Isomorphism Theorem

B.3 | Determinan sebagai Homomorfisma

Aplikasi pada matriks · Interpretasi geometris

Misalkan \(f: \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}^*, \cdot)\), \(f(A) = \det A\).

(a)Buktikan bahwa \(f\) adalah homomorfisma surjektif. [Petunjuk: gunakan sifat \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\).]
(b)Tentukan \(\ker f\). Apa nama grup ini?
(c)Terapkan Teorema 4.12 untuk menyimpulkan isomorfisma.
(d)Apa interpretasi geometris dari \(\ker f = \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\)? (Petunjuk: apa arti geometris dari determinan matriks?)

Pertanyaan Pemandu

\(\det(AB) = \det A \cdot \det B\) — ini langsung membuktikan \(f\) homomorfisma. Surjektif: untuk \(y \in \mathbb{R}^*\), pilih \(A = \begin{pmatrix}y & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) dengan \(\det A = y\). ✔
\(\ker f = \{A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) \mid \det A = 1\} = \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\) — grup matriks unimodular (Special Linear Group).
Dari Teorema 4.12: \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \cong (\mathbb{R}^*, \cdot)\).

Jawaban — Pembuktian dan Interpretasi