Materi P-7 — Homomorfisma Grup

Capaian Pembelajaran Pertemuan (CPP)

CPP-7.1

Mendefinisikan homomorfisma, memverifikasi pemetaan, mengidentifikasi kernel dan bayangan dari contoh-contoh konkret.

CPP-7.2

Membuktikan sifat dasar: \(f(\bar{e})=e\), \(f(x^{-1})=f(x)^{-1}\), serta kernel merupakan subgrup normal.

CPP-7.3

Mendefinisikan isomorfisma dan membuktikan Teorema Homomorfisma: \(G/\ker f \cong \operatorname{Im}(f)\).

CPP-7.4

Menerapkan Teorema Homomorfisma untuk mengidentifikasi isomorfisma pada kasus-kasus konkret.

Prasyarat: Fungsi bijektif/injektif/surjektif (P-2) · Subgrup normal & \(G/N\) (P-6) · Proyeksi kanonik (P-6) · Contoh-contoh grup (P-1–P-6)

Bagian 1 — Homomorfisma: Definisi, Kernel, Contoh

Definisi 4.1 — Homomorfisma Grup

Misalkan \((G,\cdot)\) dan \((\bar{G},*)\) grup. Pemetaan \(f: G \to \bar{G}\) disebut homomorfisma grup jika untuk setiap \(a, b \in G\):

\[ f(a \cdot b) = f(a) * f(b) \]

Artinya, \(f\) "menghormati" operasi grup — operasi yang dilakukan sebelum atau sesudah pemetaan menghasilkan hasil yang sama.

Definisi 4.2 — Kernel dan Bayangan

Untuk homomorfisma \(f: G \to \bar{G}\) dengan \(\bar{e}\) identitas di \(\bar{G}\):

\[ \ker f = \{x \in G \mid f(x) = \bar{e}\} \qquad \text{(Kernel)} \]

\[ \operatorname{Im}(f) = f(G) = \{f(x) \mid x \in G\} \qquad \text{(Bayangan)} \]

Contoh 4.3 — Sembilan Contoh Homomorfisma

#	Pemetaan \(f\)	Domain → Kodomain	Kernel	Sifat
(a)	\(f(x)=\bar{e}\) (konstan)	\(G \to \bar{G}\)	\(\ker f = G\)	Homomorfisma trivial
(b)	\(f(x)=x\) (identitas)	\(G \to G\)	\(\ker f = \{e\}\)	Isomorfisma \(\mathrm{id}_G\)
(c)	\(f(x)=3^x\)	\((\mathbb{R},+) \to (\mathbb{R}^*,\cdot)\)	\(\ker f = \{0\}\)	Injektif (bukan surjektif)
(d)	\(\varphi(f^ig^j)=f^i\)	\(S_3 \to \{e,f\}\)	\(\ker\varphi = \{e,g,g^2\}\)	Surjektif, tidak injektif
(e)	\(f(x)=2x\)	\((\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Z},+)\)	\(\ker f = \{0\}\)	Injektif (bukan surjektif)
(f)	\(f(x)=\mathrm{sgn}(x)\)	\((\mathbb{R}^*,\cdot) \to \{1,-1\}\)	\(\ker f = \mathbb{R}^+\)	Surjektif, tidak injektif
(g)	\(f(x)=x \bmod n\)	\((\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Z}_n,+)\)	\(\ker f = n\mathbb{Z}\)	Surjektif
(h)	\(f(x)=\log_{10}x\)	\((\mathbb{R}^+,\cdot) \to (\mathbb{R},+)\)	\(\ker f = \{1\}\)	Isomorfisma (bijektif)
(i)	\(f(A)=\det A\)	\(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}^*,\cdot)\)	\(\ker f = \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\)	Surjektif

⭐ Catatan penting (d): \(\ker\varphi = \{e, g, g^2\} \trianglelefteq S_3\) — ini adalah subgrup normal! Hal ini bukan kebetulan (lihat Lemma 4.6). Perhatikan bahwa \(\{e,g,g^2\} = A_3\) adalah subgrup alternating dari \(S_3\).

Bagian 2 — Sifat Dasar Homomorfisma

Lemma 4.4 — Proyeksi Kanonik

Misalkan \(N \trianglelefteq G\). Proyeksi kanonik \(\varphi: G \to G/N\), \(\varphi(x) = Nx\), adalah homomorfisma surjektif dengan \(\ker\varphi = N\).

Bukti

Homomorfisma: \(\varphi(xy) = N(xy) = (Nx)(Ny) = \varphi(x)\varphi(y)\). ✔

Surjektif: Untuk setiap koset \(Na \in G/N\), ada \(a \in G\) dengan \(\varphi(a) = Na\). ✔

Kernel: \(x \in \ker\varphi \Leftrightarrow Nx = N \Leftrightarrow x \in N\). Jadi \(\ker\varphi = N\). ✔ \(\square\)

Lemma 4.5 — Sifat Dasar: Identitas dan Invers

Jika \(f: G \to \bar{G}\) homomorfisma, maka:

(1) \(f(e_G) = \bar{e}\) (2) \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\) untuk semua \(x \in G\)

Bukti

(1) \(f(e) = f(e \cdot e) = f(e) \cdot f(e)\). Kalikan kiri oleh \(f(e)^{-1}\): \(\bar{e} = f(e)\). ✔

(2) \(\bar{e} = f(e) = f(x \cdot x^{-1}) = f(x) \cdot f(x^{-1})\). Jadi \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\). ✔ \(\square\)

Lemma 4.6 — Kernel adalah Subgrup Normal

Jika \(f: G \to \bar{G}\) homomorfisma, maka \(K = \ker f \trianglelefteq G\).

Bukti

Subgrup: \(\bar{e} = f(e)\) jadi \(e \in K\). Jika \(a,b \in K\): \(f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} = \bar{e}\bar{e}^{-1} = \bar{e}\), jadi \(ab^{-1} \in K\). ✔

Normal: Ambil \(g \in G\), \(k \in K\). Maka \(f(gkg^{-1}) = f(g)f(k)f(g)^{-1} = f(g)\bar{e}f(g)^{-1} = \bar{e}\). Jadi \(gkg^{-1} \in K\), sehingga \(gKg^{-1} \subseteq K\). ✔ \(\square\)

Lemma 4.8 — Peta Invers = Koset

Jika \(\bar{a} \in \operatorname{Im}(f)\) dan \(x_0\) sebarang dengan \(f(x_0) = \bar{a}\), maka:

\[ f^{-1}(\bar{a}) = Kx_0 \quad \text{di mana } K = \ker f \]

Bukti

Ambil \(x \in f^{-1}(\bar{a})\). Maka \(f(x) = \bar{a} = f(x_0)\), sehingga \(f(xx_0^{-1}) = f(x)f(x_0)^{-1} = \bar{a}\bar{a}^{-1} = \bar{e}\). Jadi \(xx_0^{-1} \in K\), artinya \(x \in Kx_0\). Sebaliknya, jika \(x = kx_0\) dengan \(k \in K\), maka \(f(x) = f(k)f(x_0) = \bar{e}\bar{a} = \bar{a}\). \(\square\)

Bagian 3 — Isomorfisma & Teorema Homomorfisma

Definisi 4.10 — Isomorfisma

Homomorfisma \(f: G \to \bar{G}\) disebut isomorfisma jika \(f\) juga injektif. Jika ada isomorfisma bijektif \(f: G \to \bar{G}\), kita tulis \(G \cong \bar{G}\) dan menyebut \(G\) dan \(\bar{G}\) isomorfik.

Teorema 4.11 — Kriteria Isomorfisma

Homomorfisma \(f: G \to \bar{G}\) adalah isomorfisma jika dan hanya jika \(\ker f = \{e_G\}\).

Bukti

(\(\Rightarrow\)) Jika \(f\) injektif dan \(f(x) = \bar{e}\), maka \(f(x) = f(e)\), sehingga \(x = e\). Jadi \(\ker f = \{e\}\). ✔

(\(\Leftarrow\)) Jika \(\ker f = \{e\}\) dan \(f(x) = f(y)\), maka \(f(xy^{-1}) = \bar{e}\), jadi \(xy^{-1} \in \ker f = \{e\}\), artinya \(x = y\). Jadi \(f\) injektif. ✔ \(\square\)

Teorema 4.12 ⭐ — Teorema Homomorfisma (First Isomorphism Theorem)

Jika \(f: G \to \bar{G}\) homomorfisma dengan \(K = \ker f\), maka:

\[ G/K \cong f(G) \]

Secara khusus, jika \(f\) surjektif maka \(G/K \cong \bar{G}\).

Bukti — Konstruksi Isomorfisma \(h: G/K \to f(G)\)

Definisi: \(h(Kx) = f(x)\) untuk setiap \(Kx \in G/K\).

Well-defined: Jika \(Kx = Ky\), maka \(xy^{-1} \in K = \ker f\), sehingga \(f(xy^{-1}) = \bar{e}\), artinya \(f(x) = f(y)\). Jadi \(h(Kx) = h(Ky)\). ✔

Homomorfisma: \(h(Kx \cdot Ky) = h(K(xy)) = f(xy) = f(x)f(y) = h(Kx)h(Ky)\). ✔

Injektif: \(\ker h = \{Kx \mid f(x)=\bar{e}\} = \{Kx \mid x \in K\} = \{K\} = \{e_{G/K}\}\). Dari Teorema 4.11, \(h\) injektif. ✔

Surjektif: Untuk setiap \(\bar{a} = f(x) \in f(G)\), ada \(Kx \in G/K\) dengan \(h(Kx) = \bar{a}\). ✔ \(\square\)

Diagram Komutasi

\(G\)	⟶	\(f\)	⟶	\(f(G)\)
\(\varphi\) ↓		↗
\(G/K\)	⟶	\(h \cong\)	⟶	\(f(G)\)

Diagram komutasi: \(f = h \circ \varphi\), di mana \(\varphi(x)=Kx\) proyeksi kanonik dan \(h(Kx)=f(x)\)

Contoh 4.4 — Aplikasi Teorema Homomorfisma

Contoh 4.4(a) — \(S_3/N \cong \mathbb{Z}_2\)

Definisikan \(\varphi: S_3 \to \{1,-1\}\) dengan \(\varphi(\sigma) = \mathrm{sgn}(\sigma)\) (tanda permutasi). Ini homomorfisma surjektif dengan \(K = \ker\varphi = A_3 = \{e, g, g^2\} \trianglelefteq S_3\). Dari Teorema 4.12: \(S_3/A_3 \cong \{1,-1\} \cong \mathbb{Z}_2\). ✔

Contoh 4.4(b) — \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_5\)

Definisikan \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_5\), \(f(n) = n \bmod 5\). Homomorfisma surjektif dengan \(\ker f = 5\mathbb{Z}\). Dari Teorema 4.12: \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_5\). Lebih umum: \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n\). ✔

Contoh 4.4(c) — \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \cong (\mathbb{R}^*,\cdot)\)

Determinan \(f: \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}^*,\cdot)\), \(f(A) = \det A\) adalah homomorfisma surjektif (karena \(\det\begin{pmatrix}y&0\\0&1\end{pmatrix}=y\)) dengan \(\ker f = \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\). Dari Teorema 4.12: \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \cong (\mathbb{R}^*,\cdot)\). ✔

Lemma 4.14–4.16 — Isomorfisma adalah Relasi Ekivalen

Refleksif (4.14): \(G \cong G\) melalui \(\mathrm{id}_G\).

Simetris (4.15): Jika \(G \cong \bar{G}\) melalui \(f\), maka \(\bar{G} \cong G\) melalui \(f^{-1}\).

Transitif (4.16): Jika \(G \cong \bar{G}\) dan \(\bar{G} \cong \tilde{G}\), maka \(G \cong \tilde{G}\) melalui komposisi.

🔗 Koneksi Antar-Topik: P-1 hingga P-7

P-1: Definisi grup, contoh dasar → P-2: Subgrup, pemetaan → P-3–P-5: Grup simetri, orde, teorema Lagrange → P-6: Subgrup normal, grup faktor \(G/N\) → P-7: Homomorfisma & Teorema Homomorfisma — menyatukan semua konsep.

Fondasi ini langsung menopang P-9: Teori Ring — ring homomorphism mengikuti pola yang sama persis.

Latihan Mandiri

1. Buktikan bahwa bayangan \(f(G) = \operatorname{Im}(f)\) adalah subgrup dari \(\bar{G}\), yaitu \(f(G) \leq \bar{G}\).
2. Jika \(H \leq G\), buktikan \(f(H) \leq \bar{G}\). Jika \(N \trianglelefteq G\), apakah selalu berlaku \(f(N) \trianglelefteq \bar{G}\)? (Pikirkan: apakah \(f\) harus surjektif?)
⭐ 3. Menengah. Jika \(f: G \to \bar{G}\) homomorfisma dan \(a \in G\) memiliki orde berhingga \(o(a) = n\), buktikan bahwa \(o(f(a))\) membagi \(o(a)\).
4. Tunjukkan bahwa \(\mathbb{Z}_{12}/\{[0],[3],[6],[9]\} \cong \mathbb{Z}_3\) menggunakan Teorema Homomorfisma. Definisikan \(f\) yang tepat dan verifikasi semua langkah.
🔥 5. Tantangan. Jika \(f: G \to \bar{G}\) homomorfisma surjektif dan \(G\) Abelian, buktikan bahwa \(\bar{G}\) juga Abelian.
✨ 6. Pengayaan. Misalkan \(Z(G)\) adalah pusat dari \(G\) dan \(\operatorname{Inn}(G)\) adalah grup automorfisma dalam. Buktikan \(G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G)\) menggunakan Teorema 4.12. [Petunjuk: definisikan \(\phi: G \to \operatorname{Inn}(G)\) dengan \(\phi(g)(x) = gxg^{-1}\).]

Referensi

📘 Herstein, I.N. Topics in Algebra, §2.7. [Referensi Utama]

📗 Gallian, J.A. Contemporary Abstract Algebra, Bab 10.

📙 Fraleigh, J.B. A First Course in Abstract Algebra, Section 13.

📕 Susilo, B. Struktur Aljabar, Bab 6.

P-7 adalah pertemuan terakhir Teori Grup sebelum UTS. Pastikan CPP 7.1–7.4 dikuasai dengan baik.