Teori Gelanggang

🎯 Capaian Pembelajaran Pertemuan

CPP 1 Mendefinisikan gelanggang dan memeriksa aksioma gelanggang pada suatu himpunan.

CPP 2 Membedakan jenis-jenis gelanggang: komutatif, bersatuan, dan lapangan.

CPP 3 Mengidentifikasi jenis gelanggang dari contoh-contoh konkret (\(\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{Z}_n, M_{2\times2}(\mathbb{Q})\)).

CPP 4 Menjelaskan hierarki: Gelanggang ⊃ Gel. Komutatif bersatuan ⊃ Lapangan.

🔗 Prasyarat

Konsep yang harus dikuasai sebelum pertemuan ini:

Operasi biner dan sifat-sifatnya (asosiatif, komutatif, tertutup) — P-3
Grup: definisi, unsur identitas, invers, dan grup Abelian — P-3
Aritmetika modular: penjumlahan dan perkalian modulo \(n\) — P-2

📖 Uraian Materi

Pada bagian pertama mata kuliah ini kita telah mempelajari Teori Grup — struktur aljabar dengan satu operasi biner yang memenuhi empat aksioma. Sekarang kita memasuki babak baru: Teori Gelanggang (Ring Theory). Gelanggang adalah struktur aljabar yang memiliki dua operasi biner, yang secara longgar mencerminkan penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat.

Definisi 9.1 — Gelanggang

Suatu himpunan tak kosong \(R\) dikatakan membentuk gelanggang (asosiatif) jika dalam \(R\) didefinisikan dua operasi biner, yaitu penjumlahan (\(+\)) dan perkalian (\(\cdot\)), sedemikian sehingga dipenuhi:

(9.1)	\(R\) merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan \((R,+)\).
(9.2)	\(R\) tertutup terhadap operasi perkalian: \(a,b\in R\Rightarrow a\cdot b\in R\).
(9.3)	Operasi perkalian dalam \(R\) bersifat asosiatif: \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)\) untuk setiap \(a,b,c\in R\).
(9.4)	Berlaku dua sifat distributif untuk setiap \(a,b,c\in R\): \[a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c \quad\text{dan}\quad (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a.\]

Catatan notasi: Karena \((R,+)\) adalah grup, secara otomatis terdapat unsur identitas penjumlahan yang dinotasikan \(0\) (unsur nol), dan untuk setiap \(a\in R\) terdapat invers penjumlahan \(-a\). Perkalian \(a\cdot b\) sering dituliskan \(ab\).

Jenis-Jenis Gelanggang

Definisi 9.2 — Gelanggang dengan Unsur Satuan

Gelanggang \(R\) disebut gelanggang dengan unsur satuan jika terdapat \(1\in R\) sedemikian sehingga \(1\cdot a = a\cdot 1 = a\) untuk setiap \(a\in R\).

Definisi 9.3 — Gelanggang Komutatif

Gelanggang \(R\) disebut gelanggang komutatif jika \(a\cdot b = b\cdot a\) untuk setiap \(a,b\in R\).

Definisi 9.4 — Gelanggang Komutatif dengan Unsur Satuan

Gelanggang \(R\) disebut gelanggang komutatif dengan unsur satuan jika \(R\) memenuhi sekaligus Definisi 9.2 dan Definisi 9.3.

Definisi 9.5 — Lapangan (Field)

Gelanggang komutatif dengan unsur satuan \(R\) disebut lapangan (field) jika setiap unsur tak nol dari \(R\) memiliki invers terhadap operasi perkalian, yaitu: untuk setiap \(a\in R\), \(a\neq 0\), terdapat \(a^{-1}\in R\) sedemikian sehingga \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\).

Hierarki: Gelanggang ⊃ Gelanggang Komutatif bersatuan ⊃ Lapangan

Contoh-Contoh Gelanggang

Contoh 9.1 — Bilangan Bulat \(\mathbb{Z}\)

\((\mathbb{Z},+,\cdot)\) dengan penjumlahan dan perkalian biasa merupakan gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Unsur satuan perkalian adalah \(1\). Namun \(\mathbb{Z}\) bukan lapangan karena, misalnya, \(2\in\mathbb{Z}\) tidak memiliki invers perkalian di \(\mathbb{Z}\) (sebab \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)).

Contoh 9.2 — Bilangan Bulat Genap \(2\mathbb{Z}\)

\((2\mathbb{Z},+,\cdot)\) merupakan gelanggang komutatif tanpa unsur satuan. Perkalian dua bilangan genap menghasilkan bilangan genap (tertutup), dan sifat komutatif berlaku. Tetapi \(1\notin 2\mathbb{Z}\), sehingga unsur satuan perkalian tidak ada di \(2\mathbb{Z}\).

Contoh 9.3 — Bilangan Rasional \(\mathbb{Q}\)

\((\mathbb{Q},+,\cdot)\) merupakan lapangan. Komutatif, memiliki unsur satuan \(1\), dan setiap \(a\neq0\) memiliki invers perkalian \(\frac{1}{a}\in\mathbb{Q}\). Demikian pula \((\mathbb{R},+,\cdot)\) dan \((\mathbb{C},+,\cdot)\) adalah lapangan.

Contoh 9.4 — \(\mathbb{Z}_7\) (modulo bilangan prima)

\((\mathbb{Z}_7, +_7, \cdot_7)\) merupakan lapangan. Karena \(7\) adalah bilangan prima, setiap unsur tak nol \([1],[2],\ldots,[6]\) memiliki invers perkalian modulo \(7\). Misalnya \([3]\cdot[5]=[15\bmod7]=[1]\), sehingga \([3]^{-1}=[5]\).

Contoh 9.5 — \(\mathbb{Z}_6\) (modulo bilangan komposit)

\((\mathbb{Z}_6,+_6,\cdot_6)\) merupakan gelanggang komutatif dengan unsur satuan, tetapi bukan lapangan. Contoh: \([2]\cdot[3]=[6\bmod6]=[0]\), padahal \([2]\neq[0]\) dan \([3]\neq[0]\). Fakta ini menunjukkan adanya "pembagi nol" — konsep yang akan kita pelajari di P-10.

Contoh 9.6 — Matriks \(M_{2\times2}(\mathbb{Q})\)

Himpunan semua matriks \(2\times2\) dengan entri rasional, \[M_{2\times2}(\mathbb{Q}) = \left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \,\middle|\, a,b,c,d\in\mathbb{Q}\right\},\] dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks, membentuk gelanggang dengan unsur satuan. Unsur satuan adalah matriks identitas \(I_2\). Namun tidak komutatif: umumnya \(AB\neq BA\). Juga bukan lapangan karena tidak setiap matriks tak nol memiliki invers (misalnya \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) tak memiliki invers).

Tabel Ringkasan Jenis Gelanggang

Contoh	Komutatif	Bersatuan	Lapangan
\(\mathbb{Z}\)	✔	✔	✘
\(2\mathbb{Z}\)	✔	✘	✘
\(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\)	✔	✔	✔
\(\mathbb{Z}_7\) (\(p\) prima)	✔	✔	✔
\(\mathbb{Z}_6\) (\(n\) komposit)	✔	✔	✘
\(M_{2\times2}(\mathbb{Q})\)	✘	✔	✘

📐 Sifat-Sifat Elementer Gelanggang

Aksioma gelanggang (Def. 9.1) memungkinkan kita membuktikan sejumlah sifat dasar yang berlaku di setiap gelanggang. Sifat-sifat ini tidak perlu dipostulatkan — semuanya merupakan konsekuensi logis dari aksioma.

Lemma 9.1 — Sifat-Sifat Elementer Gelanggang

Jika \(R\) suatu gelanggang, maka untuk setiap \(a,b\in R\) berlaku:

1.	\(a\cdot 0 = 0\cdot a = 0\)
2.	\(a(-b) = (-a)b = -(ab)\)
3.	\((-a)(-b) = ab\)

Tambahan, jika \(R\) memiliki unsur satuan \(1\in R\), maka:

4.	\((-1)\cdot a = -a\)
5.	\((-1)(-1) = 1\)

Bukti.

1. Untuk setiap \(a\in R\):

\(a\cdot 0 + 0 = a\cdot 0 = a\cdot(0+0) = a\cdot 0 + a\cdot 0.\)
Dengan hukum kanselasi pada grup \((R,+)\): \(a\cdot 0 = 0\). Analog: \(0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a\), sehingga \(0\cdot a = 0\). \(\square\)

2. Untuk membuktikan \(a(-b)=-(ab)\), cukup tunjukkan \(ab + a(-b)=0\):

\(ab + a(-b) = a(b+(-b)) = a\cdot 0 = 0.\)
Jadi \(a(-b)=-(ab)\). Analog: \(ab+(-a)b=(a+(-a))b=0\cdot b=0\), sehingga \((-a)b=-(ab)\). \(\square\)

3. Gunakan sifat 2:

\((-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab.\) \(\square\)

4. Tunjukkan \(a+(-1)a=0\):

\(a+(-1)a = 1\cdot a+(-1)\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 0\cdot a = 0.\)
Jadi \((-1)a=-a\). \(\square\)

5. Gunakan sifat 4:

\((-1)(-1) = -(-1) = 1.\) \(\square\)

Catatan Penting: Sifat 1 menegaskan bahwa "nol kali apapun adalah nol" bukan sekadar intuisi — ini dapat dibuktikan dari aksioma. Sifat 2 dan 3 memperlihatkan bahwa aturan tanda perkalian yang kita kenal sejak SMP berlaku di semua gelanggang, bukan hanya di \(\mathbb{Z}\).

✏️ Latihan Soal Mandiri

Kerjakan secara mandiri. Soal 1–2 tingkat dasar, soal 3–4 menengah, soal 5–6 tantangan/pengayaan.

Soal 1 C1 Dasar

Misalkan \(R=\{0\}\) dengan operasi \(0+0=0\) dan \(0\cdot0=0\). Tunjukkan bahwa \(R\) membentuk gelanggang. Apakah \(R\) merupakan lapangan? Jelaskan.

Soal 2 C1 Dasar

Tentukan mana yang merupakan gelanggang. Jika ya, sebutkan jenisnya (komutatif? bersatuan? lapangan?).
(a) \((\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z}\}, +, \cdot)\) — bilangan Gauss.
(b) \((\mathbb{N}, +, \cdot)\) — bilangan asli.

Soal 3 C3 Menengah

Misalkan \(R\) gelanggang dengan unsur satuan \(1\). Buktikan bahwa unsur satuan \(1\) bersifat tunggal (unik) dalam \(R\).

Soal 4 C3 Menengah

Buktikan bahwa untuk setiap \(a\in R\) (gelanggang), berlaku \(0\cdot a = a\cdot 0 = 0\).
Petunjuk: Gunakan sifat distributif dan sifat grup \((R,+)\).

Soal 5 C4 Tantangan

Misalkan \(R=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) dengan operasi komponen-per-komponen: \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\) dan \((a,b)\cdot(c,d)=(ac,bd)\). Tunjukkan bahwa \(R\) membentuk gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Apakah \(R\) lapangan? Petunjuk: periksa apakah \((2,0)\) memiliki invers perkalian di \(R\).

Soal 6 C4 Pengayaan

Misalkan \(R\) lapangan dan \(a,b\in R\). Buktikan bahwa jika \(ab=0\) maka \(a=0\) atau \(b=0\).
Petunjuk: Asumsikan \(a\neq0\), kemudian kalikan kiri dengan \(a^{-1}\).

📚 Rujukan Bacaan

Jafar. Struktur Aljabar 1 — Topik 9: Teori Gelanggang. Bahan Ajar S1 Pendidikan Matematika UHO.
Herstein, I.N. (1975). Topics in Algebra (2nd ed.). Wiley. §3.1.
Fraleigh, J.B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley. §18–19.

Pertemuan 9: Teori Gelanggang