Materi P-10 – Gelanggang Khusus

🎯 Capaian Pembelajaran Pertemuan

CPP 1
Mendefinisikan dan mengidentifikasi pembagi nol dalam suatu gelanggang komutatif.

CPP 2
Mendefinisikan daerah integral, gelanggang pembagian, dan lapangan, serta membedakan ketiganya.

CPP 3
Mendefinisikan karakteristik gelanggang dan menentukan karakteristik dari contoh-contoh konkret.

CPP 4
Menjelaskan hierarki: Gelanggang ⊃ Daerah Integral ⊃ Lapangan, dan posisi gelanggang pembagian.

🔗 Prasyarat

Definisi gelanggang (Def. 9.1) dan jenis-jenis gelanggang (Def. 9.2–9.5) — P-9
Sifat-sifat elementer gelanggang: \(0\cdot a=0\), \((-a)b=-(ab)\), \((-a)(-b)=ab\) — Lemma 9.1
Contoh gelanggang: \(\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}_n, M_{2\times2}(\mathbb{Q})\) — P-9

📖 Uraian Materi

Kita telah mengenal bahwa tidak semua gelanggang berperilaku seperti \(\mathbb{Z}\) atau \(\mathbb{Q}\). Pada pertemuan ini kita mengklasifikasikan gelanggang berdasarkan sifat-sifat khusus — khususnya ada-tidaknya pembagi nol dan ada-tidaknya invers perkalian.

A. Pembagi Nol

Definisi 10.1 — Pembagi Nol

Misalkan \(R\) suatu gelanggang komutatif. Elemen \(a\in R\), \(a\neq 0\) disebut pembagi nol (zero-divisor) jika terdapat \(b\in R\), \(b\neq 0\), sedemikian sehingga \(a\cdot b=0\).

Contoh — Pembagi Nol di \(\mathbb{Z}_6\)

Di \(\mathbb{Z}_6\): \([2]\cdot[3]=[6\bmod6]=[0]\), padahal \([2]\neq[0]\) dan \([3]\neq[0]\).
Jadi \([2]\) dan \([3]\) keduanya merupakan pembagi nol di \(\mathbb{Z}_6\).
Pembagi nol lainnya di \(\mathbb{Z}_6\): \([4]\) karena \([4]\cdot[3]=[12\bmod6]=[0]\).

Sebaliknya, \([1],[5]\) bukan pembagi nol karena \(\gcd(1,6)=\gcd(5,6)=1\) — memiliki invers perkalian.

B. Daerah Integral

Definisi 10.2 — Daerah Integral

Suatu gelanggang komutatif disebut daerah integral (integral domain) jika tidak memiliki pembagi nol. Ekivalen: \(R\) daerah integral jika \(a,b\in R\) dan \(ab=0\) mengakibatkan \(a=0\) atau \(b=0\).

Contoh — Daerah Integral dan Bukan

Daerah integral:

\(\mathbb{Z}\) — jika \(ab=0\) di \(\mathbb{Z}\) maka \(a=0\) atau \(b=0\). ✔
\(\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\) — setiap lapangan adalah daerah integral. ✔
\(\mathbb{Z}_p\) untuk \(p\) prima — terbukti dari sifat bilangan prima. ✔

Bukan daerah integral:

\(\mathbb{Z}_6\): \([2][3]=[0]\) dengan \([2],[3]\neq[0]\). ✘
\(\mathbb{Z}_9\): \([3][3]=[9\bmod9]=[0]\) dengan \([3]\neq[0]\). ✘

Akibat Penting (Hukum Kanselasi): Jika \(R\) daerah integral, \(a\neq0\), dan \(ab=ac\), maka \(b=c\).
Bukti: \(ab=ac\Rightarrow a(b-c)=0\). Karena \(a\neq0\) dan \(R\) tidak memiliki pembagi nol, maka \(b-c=0\), yaitu \(b=c\). \(\square\)

C. Gelanggang Pembagian dan Lapangan

Definisi 10.3 — Gelanggang Pembagian

Suatu gelanggang \(R\) disebut gelanggang pembagian (division ring) jika himpunan unsur-unsur tak nolnya, yaitu \(R^*=R\setminus\{0\}\), membentuk grup terhadap operasi perkalian.

Definisi 10.4 — Lapangan

Suatu lapangan (field) adalah gelanggang pembagian yang komutatif. Ekivalen: gelanggang komutatif bersatuan di mana setiap unsur tak nol memiliki invers perkalian.

Catatan — Kuaternion \(\mathbb{H}\)

Kuaternion \(\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk\mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\}\) dengan relasi \(i^2=j^2=k^2=ijk=-1\) adalah contoh gelanggang pembagian yang bukan lapangan: setiap unsur tak nol memiliki invers perkalian, tetapi perkalian tidak komutatif (\(ij=k\neq-k=ji\)).

D. Karakteristik Gelanggang

Definisi 10.5 — Karakteristik

Misalkan \(R\) gelanggang dengan unsur satuan \(1\). Karakteristik dari \(R\), dinotasikan \(\mathrm{char}(R)\), adalah bilangan bulat positif terkecil \(n\) sedemikian sehingga \[n\cdot 1 = \underbrace{1+1+\cdots+1}_{n} = 0.\] Jika tidak ada \(n\) seperti itu, maka \(\mathrm{char}(R)=0\).

Contoh — Karakteristik Berbagai Gelanggang

Gelanggang \(R\)	\(\mathrm{char}(R)\)	Alasan
\(\mathbb{Z}\)	\(0\)	\(n\cdot1=n\neq0\) untuk semua \(n>0\)
\(\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\)	\(0\)	\(n\cdot1=n\neq0\) untuk semua \(n>0\)
\(\mathbb{Z}_5\)	\(5\)	\(5\cdot[1]=[5\bmod5]=[0]\)
\(\mathbb{Z}_6\)	\(6\)	\(6\cdot[1]=[0]\), tidak ada \(n<6\) yang memenuhi
\(\mathbb{Z}_p\) (\(p\) prima)	\(p\)	\(p\cdot[1]=[0]\), \(p\) adalah yang terkecil

Teorema: Karakteristik dari suatu daerah integral adalah 0 atau bilangan prima.
Intuisi: Jika \(\mathrm{char}(R)=n=ab\) dengan \(1<a,b<n\), maka \((a\cdot1)(b\cdot1)=n\cdot1=0\), memberikan pembagi nol — kontradiksi dengan sifat daerah integral.

E. Hierarki Lengkap Gelanggang Khusus

Gelanggang ⊃ Daerah Integral ⊃ Lapangan
Gelanggang Pembagian (tidak harus komutatif) ⟹ Lapangan (bila komutatif)
Contoh: \(\mathbb{Z}\) adalah DI tapi bukan lapangan; \(\mathbb{Q}\) adalah lapangan; \(\mathbb{H}\) adalah gel. pembagian tapi bukan lapangan.

✏️ Latihan Soal Mandiri

Soal 1–2 tingkat dasar, soal 3–4 menengah, soal 5–6 tantangan.

Soal 1 (Dasar)

Tentukan semua pembagi nol di \(\mathbb{Z}_8\). Untuk setiap pembagi nol \([a]\) yang ditemukan, tuliskan \([b]\neq[0]\) dengan \([a][b]=[0]\).

Soal 2 (Dasar)

Tentukan karakteristik dari: (a) \(\mathbb{Z}_4\), (b) \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\), (c) \(\mathbb{Q}\). Tunjukkan perhitungan untuk masing-masing.

Soal 3 (Menengah)

Buktikan bahwa setiap lapangan adalah daerah integral. Petunjuk: Misalkan \(ab=0\) dengan \(a\neq0\); kalikan kiri dengan \(a^{-1}\).

Soal 4 (Menengah)

Misalkan \(R\) daerah integral dan \(a\in R\) dengan \(a^2=a\) (\(a\) disebut idempoten). Tunjukkan bahwa \(a=0\) atau \(a=1\). Petunjuk: \(a^2-a=0\), faktorkan, gunakan sifat tidak ada pembagi nol.

Soal 5 (Tantangan)

Misalkan \(R\) daerah integral hingga. Buktikan bahwa \(R\) adalah lapangan. Petunjuk: Untuk \(a\neq0\), tinjau \(\phi:R\to R\) dengan \(\phi(x)=ax\). Tunjukkan \(\phi\) injektif; karena \(R\) hingga, \(\phi\) juga surjektif, sehingga ada \(b\) dengan \(ab=1\).

Soal 6 (Pengayaan)

Misalkan \(p\) bilangan prima dan \(R=\mathbb{Z}_p\). Buktikan bahwa \(\mathrm{char}(R)=p\) dan \(R\) adalah daerah integral. Kemudian gunakan Soal 5 untuk menyimpulkan bahwa \(\mathbb{Z}_p\) adalah lapangan.

📚 Rujukan Bacaan

Jafar. Bahan Ajar Struktur Aljabar. UHO Kendari.
Herstein, I. N. Topics in Algebra, 2nd ed. §3.2 — Ideals and Quotient Rings.
Fraleigh, J. B. A First Course in Abstract Algebra, 7th ed. §19 — Integral Domains.

Pertemuan 10: Gelanggang Khusus