LKM · Struktur Aljabar · 3 SKS

Pertemuan 10: Gelanggang Khusus

🔬 Semi Terbimbing  |  ⏱ 55 menit  |  👥 2–3 orang ▶ 55:00
💾 Jawaban tersimpan otomatis di perangkat ini
🔬 Lembar Kerja Mahasiswa (LKM) — Semi Terbimbing

Kerjakan secara berkelompok (2–3 orang).

Kegiatan 1 — Identifikasi Pembagi Nol di \(\mathbb{Z}_{12}\)

Tentukan semua pembagi nol di \(\mathbb{Z}_{12}=\{[0],[1],[2],\ldots,[11]\}\).

Pertanyaan Pemandu:

  1. Untuk \([a]\in\mathbb{Z}_{12}\), kapan \([a]\) memiliki invers perkalian? (Petunjuk: \(\gcd(a,12)=1\).)
  2. Tunjukkan bahwa \([4]\) adalah pembagi nol dengan mencari \([b]\neq[0]\) sedemikian \([4][b]=[0]\).
  3. Apa pola yang Anda temukan? Apakah semua \([a]\) dengan \(\gcd(a,12)>1\) pasti pembagi nol?

Kegiatan 2 — Klasifikasi Gelanggang

Lengkapi tabel berikut dengan memberikan tanda ✔ atau ✘ dan alasan singkat pada kolom yang disediakan.

Gelanggang Komutatif Daerah Integral Lapangan \(\mathrm{char}\)
\(\mathbb{Z}_{13}\)
\(\mathbb{Z}_{15}\)
\(\mathbb{R}\)
\(M_{2\times2}(\mathbb{R})\)

Kegiatan 3 — Eksplorasi Karakteristik

Di \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\) dengan operasi komponen-per-komponen, tentukan \(\mathrm{char}(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3)\).

💡 Petunjuk: hitung \(n\cdot(1,1)\) untuk \(n=1,2,3,4,5,6\). Ingat: operasi dilakukan komponen per komponen modulo masing-masing.

Apakah \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\) merupakan daerah integral? Apakah karakteristiknya bilangan prima? Apa kesimpulannya terhadap teorema yang menyatakan karakteristik daerah integral adalah 0 atau prima?

Program Studi S1 Pendidikan Matematika • Universitas Halu Oleo • Kendari