Pertemuan 11: Ideal dan Gelanggang Kuosien

Kegiatan 1 — Verifikasi Ideal di \(\mathbb{Z}_{12}\)

Misalkan \(U=\{[0],[4],[8]\}\subseteq\mathbb{Z}_{12}\).

1. Tunjukkan bahwa \(U\) adalah subgrup dari \((\mathbb{Z}_{12},+_{12})\).
2. Verifikasi sifat penyerapan: untuk setiap \([u]\in U\) dan \([r]\in\mathbb{Z}_{12}\), tunjukkan \([u]\cdot[r]\in U\). Cukup periksa \([4]\cdot[r]\) untuk \([r]=[0],[1],\ldots,[11]\).
3. Tuliskan semua koset \(U+[r]\) yang membentuk \(\mathbb{Z}_{12}/U\). Ada berapa koset?

Kegiatan 2 — Operasi di Gelanggang Kuosien \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)

Koset-koset \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\): \(4\mathbb{Z}+0\), \(4\mathbb{Z}+1\), \(4\mathbb{Z}+2\), \(4\mathbb{Z}+3\).

Lengkapi tabel perkalian berikut:

Apakah \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) memiliki pembagi nol? Apakah ia daerah integral?

Kegiatan 3 — Eksplorasi: Subgelanggang vs Ideal

Di gelanggang \(\mathbb{Z}\), pertimbangkan dua subhimpunan: \(S=\{0,1,-1,2,-2,\ldots\}=\mathbb{Z}\) dan \(T=\{0,6,12,-6,-12,\ldots\}=6\mathbb{Z}\).

Apakah keduanya ideal? Kemudian pertimbangkan \(\mathbb{Z}\) sebagai subhimpunan \(\mathbb{Q}\). Apakah \(\mathbb{Z}\) ideal dari \(\mathbb{Q}\)? Jelaskan mengapa atau mengapa tidak.