Pre-Test P-12 — Homomorfisma Gelanggang

Soal 1C1 – Ingat

Pemetaan \(\phi:R\to R'\) disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap \(a,b\in R\) berlaku dua kondisi. Pasangan kondisi yang benar adalah …

A. \(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\) saja. B. \(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\) dan \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\). C. \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\) saja. D. \(\phi(a-b)=\phi(a)-\phi(b)\) dan \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\).

Soal 2C2 – Pahami

Apa perbedaan utama antara homomorfisma gelanggang dan homomorfisma grup?

A. Homomorfisma gelanggang mengharuskan domain dan kodomain memiliki elemen yang sama. B. Homomorfisma gelanggang menambahkan syarat mempertahankan operasi perkalian di atas syarat homomorfisma grup. C. Homomorfisma gelanggang tidak memerlukan syarat pada operasi penjumlahan. D. Homomorfisma gelanggang harus bijektif, sedangkan homomorfisma grup tidak.

Soal 3C1 – Ingat

Misalkan \(\phi:R\to R'\) homomorfisma gelanggang dan \(0'\) unsur nol \(R'\). Kernel \(\phi\) didefinisikan sebagai …

A. \(\{x\in R\mid\phi(x)=1'\}\) (elemen satuan \(R'\)). B. \(\{x\in R\mid\phi(x)=0'\}\) (elemen nol \(R'\)). C. \(\{\phi(x)\mid x\in R\}\) (image \(\phi\)). D. \(\{x\in R'\mid\phi^{-1}(x)\text{ terdefinisi}\}\).

Soal 4C3 – Terapkan

Untuk gelanggang \(R\) dan \(R'\), pemetaan konstan \(\phi(x)=0'\) untuk semua \(x\in R\) adalah homomorfisma gelanggang. Berapakah \(K=\ker\phi\)?

A. \(K=\{0\}\). B. \(K=R\). C. \(K=R'\). D. \(K=\emptyset\).

Soal 5C2 – Pahami

Misalkan \(U\) ideal dari gelanggang \(R\), dan \(\phi:R\to R/U\) adalah proyeksi kanonik \(\phi(x)=U+x\). Berapakah \(\ker\phi\)?

A. \(\ker\phi=\{0\}\). B. \(\ker\phi=U\). C. \(\ker\phi=R\). D. \(\ker\phi=R/U\).

Soal 6C1 – Ingat

Menurut Lemma 12.2, jika \(\phi:R\to R'\) homomorfisma gelanggang, maka \(\phi(0)\) sama dengan …

A. \(1'\) (elemen satuan \(R'\)). B. \(0'\) (elemen nol \(R'\)). C. \(0\) (elemen nol \(R\)). D. Bergantung pada gelanggang \(R\).

Soal 7C2 – Pahami

Menurut Lemma 12.2, untuk setiap \(x\in R\), nilai \(\phi(-x)\) adalah …

A. \(\phi(x)^{-1}\) (invers perkalian \(\phi(x)\)). B. \(-\phi(x)\) (invers penjumlahan \(\phi(x)\)). C. \(\phi(x)\). D. \(0'\).

Soal 8C2 – Pahami

Lemma 12.3 menyatakan bahwa kernel \(K=\ker\phi\) dari homomorfisma gelanggang \(\phi:R\to R'\) adalah …

A. Subgelanggang dari \(R'\). B. Ideal dari \(R\). C. Ideal dari \(R'\). D. Subgrup dari \((R',+')\).

Soal 9C3 – Terapkan

Lemma 12.4: Homomorfisma gelanggang \(\phi:R\to R'\) bersifat injektif jika dan hanya jika …

A. \(K=R\). B. \(K=\{0\}\). C. \(\phi\) surjektif. D. \(K=R'\).

Soal 10C3 – Terapkan

Untuk \(\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_6\) dengan \(\phi(n)=[n\bmod 6]\), tentukan \(K=\ker\phi\).

A. \(K=\{0\}\). B. \(K=6\mathbb{Z}=\{\ldots,-12,-6,0,6,12,\ldots\}\). C. \(K=\mathbb{Z}_6\). D. \(K=\mathbb{Z}\).