Pre-Test P-11 — Ideal dan Gelanggang Kuosien

Kerjakan secara individual sebelum pembelajaran dimulai.
Pilih satu jawaban yang paling tepat untuk setiap soal.
Umpan balik muncul langsung setelah memilih — pilihan tidak dapat diubah.
Pre-Test ini tidak dinilai — gunakan untuk mengukur kesiapan Anda.

Soal 1 C1 — Ingat

Syarat himpunan tak kosong \(U\subseteq R\) disebut ideal dari gelanggang \(R\) adalah ...

A. \(U\) subgrup dari \((R,\cdot)\) dan \(ru\in U\) untuk setiap \(r\in R, u\in U\). B. \(U\) subgrup dari \((R,+)\) dan \(ur,ru\in U\) untuk setiap \(u\in U, r\in R\). C. \(U\) subgrup dari \((R,+)\) dan \(U\) tertutup terhadap perkalian antar elemen \(U\). D. \(U\) subhimpunan \(R\) yang tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian.

Soal 2 C2 — Pahami

Dalam gelanggang \(\mathbb{Z}\), himpunan \(n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in\mathbb{Z}\}\) untuk suatu \(n\in\mathbb{Z}\) merupakan ...

A. Subgrup \((\mathbb{Z},\cdot)\) tetapi bukan ideal. B. Ideal dari \(\mathbb{Z}\). C. Ideal hanya jika \(n\) prima. D. Bukan ideal karena \(\mathbb{Z}\) tidak komutatif.

Soal 3 C3 — Terapkan

Jika \(R\) gelanggang dengan unsur satuan \(1\), dan \(U\) ideal dari \(R\) dengan \(1\in U\), maka ...

A. \(U=\{1\}\) B. \(U=R\) C. \(U\) adalah subgrup dari \((R,\cdot)\) D. \(U\) tidak terdefinisi dengan baik

Soal 4 C2 — Pahami

Perbedaan antara ideal dan subgelanggang adalah ...

A. Ideal harus komutatif, subgelanggang tidak. B. Ideal mensyaratkan \(ru,ur\in U\) untuk semua \(r\in R\); subgelanggang hanya mensyaratkan penutupan perkalian antar elemennya sendiri. C. Subgelanggang selalu merupakan ideal, tetapi tidak sebaliknya. D. Ideal dan subgelanggang adalah konsep yang identik.

Soal 5 C1 — Ingat

Gelanggang kuosien \(R/U\) didefinisikan sebagai himpunan ...

A. Semua subhimpunan dari \(R\) yang memuat \(U\). B. Semua koset \(U+r\) untuk \(r\in R\). C. Semua elemen \(R\) yang tidak termuat dalam \(U\). D. Pasangan terurut \((U,R)\).

Soal 6 C1 — Ingat

Operasi perkalian pada gelanggang kuosien \(R/U\) didefinisikan oleh ...

A. \((U+a)\cdot(U+b)=U+(a\cdot b)\) B. \((U+a)\cdot(U+b)=U+(a+b)\) C. \((U+a)\cdot(U+b)=a\cdot b\) D. \((U+a)\cdot(U+b)=U\)

Soal 7 C2 — Pahami

Mengapa syarat "\(U\) ideal" diperlukan agar operasi perkalian \((U+a)(U+b)=U+ab\) terdefinisi baik (well-defined)?

A. Agar \(U+a=U+b\) untuk semua \(a,b\). B. Agar hasil perkalian koset tidak bergantung pada pilihan representan koset. C. Agar \(R/U\) memiliki unsur satuan. D. Agar \(U\) menjadi subgrup dari \((R,\cdot)\).

Soal 8 C3 — Terapkan

Gelanggang kuosien \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) memiliki berapa elemen?

A. Tak hingga banyaknya B. \(2\) C. \(3\) D. \(6\)

Soal 9 C2 — Pahami

Unsur identitas penjumlahan pada \(R/U\) adalah ...

A. \(0\) (unsur nol \(R\)) B. \(U+0=U\) (koset \(U\) sendiri) C. \(U+1\) (jika \(R\) bersatuan) D. Bergantung pada pilihan ideal \(U\)

Soal 10 C3 — Terapkan

Di \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), hasil \((6\mathbb{Z}+4)+(6\mathbb{Z}+5)\) adalah ...

A. \(6\mathbb{Z}+9\) B. \(6\mathbb{Z}+3\) C. \(6\mathbb{Z}+1\) D. \(6\mathbb{Z}+20\)

Pertemuan 11: Ideal dan Gelanggang Kuosien