CPP 1
Mendefinisikan ideal (dua-pihak) dari suatu gelanggang dan membedakannya dari subgelanggang.
CPP 2
Mengidentifikasi ideal dari contoh-contoh gelanggang konkret (\(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_n, M_{2\times2}\)).
CPP 3
Mendefinisikan gelanggang kuosien \(R/U\) dan menentukan operasi penjumlahan serta perkaliannya.
CPP 4
Membuktikan bahwa \(R/U\) membentuk gelanggang dan menghitung operasi di dalamnya.
Pre-Test Pertemuan 11 tersedia sebagai file terpisah. Kerjakan secara mandiri sebelum mempelajari materi di bawah ini.
10 soal PG · ±15 menit
Dalam teori grup, subgrup normal memainkan peran sentral: ia memungkinkan kita membentuk grup kuosien. Dalam teori gelanggang, peran analogi ini dimainkan oleh ideal. Ideal adalah substruktur khusus yang memungkinkan kita mendefinisikan gelanggang kuosien dengan baik.
A. Ideal
Definisi 11.1 — Ideal (Dua-Pihak)
Misalkan \(R\) suatu gelanggang. Himpunan tak kosong \(U\subseteq R\), \(U\neq\emptyset\) dikatakan ideal (dua-pihak) dari \(R\) jika:
| (1) | \(U\) merupakan subgrup dari \((R,+)\), dan |
| (2) | Untuk setiap \(u\in U\) dan \(r\in R\): \(ur\in U\) dan \(ru\in U\) (sifat penyerapan dua arah). |
Analogi dengan Teori Grup: Ideal dalam gelanggang berperan seperti subgrup normal dalam grup. Sifat penyerapan \(ru,ur\in U\) untuk semua \(r\in R\) adalah analog dari syarat normalitas \(gHg^{-1}\subseteq H\). Jika \(R\) komutatif, syarat \(ur\in U\) dan \(ru\in U\) menjadi ekivalen.
Contoh-Contoh Ideal
Contoh 11.1 — Ideal Trivial
Untuk setiap gelanggang \(R\), himpunan \(\{0\}\) (ideal nol) dan \(R\) sendiri selalu merupakan ideal dari \(R\). Keduanya disebut ideal trivial. Ideal selain \(\{0\}\) dan \(R\) disebut ideal sejati (nontrivial).
Contoh 11.2 — Ideal di \(\mathbb{Z}\)
Untuk setiap \(n\in\mathbb{Z}\), himpunan \(n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in\mathbb{Z}\}\) adalah ideal dari \(\mathbb{Z}\).
Verifikasi: (1) \((n\mathbb{Z},+)\) adalah subgrup \((\mathbb{Z},+)\) ✔. (2) Untuk \(nk\in n\mathbb{Z}\) dan \(r\in\mathbb{Z}\): \((nk)\cdot r = n(kr)\in n\mathbb{Z}\) ✔.
Dapat dibuktikan bahwa setiap ideal dari \(\mathbb{Z}\) berbentuk \(n\mathbb{Z}\) untuk suatu \(n\geq0\). (Ini adalah sifat "daerah ideal utama" yang akan dibahas lebih lanjut.)
Contoh 11.3 — Lapangan Hanya Memiliki Ideal Trivial
Jika \(F\) lapangan dan \(U\) ideal dari \(F\) dengan \(U\neq\{0\}\), maka \(U=F\).
Bukti: Ambil \(u\in U\), \(u\neq0\). Karena \(F\) lapangan, \(u^{-1}\in F\). Maka \(1=u\cdot u^{-1}\in U\) (sifat penyerapan). Karena \(1\in U\), untuk setiap \(r\in F\): \(r=1\cdot r\in U\), sehingga \(U=F\). \(\square\)
Contoh 11.4 — Ideal di \(\mathbb{Z}_6\)
Subhimpunan \(U=\{[0],[2],[4]\}\subseteq\mathbb{Z}_6\) adalah ideal dari \(\mathbb{Z}_6\).
Verifikasi: (1) \(U\) subgrup \((\mathbb{Z}_6,+)\): \([0]+[0]=[0]\), \([2]+[4]=[0]\), \([4]+[2]=[0]\) ✔. (2) Penyerapan: \([2]\cdot[1]=[2]\in U\), \([2]\cdot[3]=[0]\in U\), \([2]\cdot[5]=[4]\in U\), dst. ✔
B. Gelanggang Kuosien
Definisi 11.2 — Gelanggang Kuosien
Misalkan \(U\) ideal dari gelanggang \(R\). Gelanggang kuosien \(R/U\) didefinisikan sebagai himpunan semua koset \(U\) dalam \((R,+)\):
\[R/U = \{U+r \mid r\in R\}\]
dengan dua operasi:
\[(U+a)+(U+b)=U+(a+b) \qquad \text{(penjumlahan)}\]
\[(U+a)\cdot(U+b)=U+(a\cdot b) \qquad \text{(perkalian)}\]
Lemma 11.1
Jika \(R\) suatu gelanggang dan \(U\) ideal dari \(R\), maka \(R/U\) merupakan gelanggang.
Bukti Lemma 11.1.
Bagian 1 — Struktur penjumlahan.
Karena \(U\) ideal, \(U\) khususnya subgrup normal dari \((R,+)\) (karena \(R\) Abelian terhadap \(+\)). Dari Teorema 4.1 (grup kuosien), \(R/U\) membentuk grup komutatif terhadap penjumlahan koset \((U+a)+(U+b)=U+(a+b)\). \(\square\)
Bagian 2 — Perkalian terdefinisi baik (well-defined).
Misalkan \(U+a=U+a'\) dan \(U+b=U+b'\), sehingga \(a'=u_1+a\) dan \(b'=u_2+b\) untuk suatu \(u_1,u_2\in U\). Perlu ditunjukkan \(U+ab=U+a'b'\).
\[a'b'=(u_1+a)(u_2+b)=u_1u_2+u_1b+au_2+ab.\]
Karena \(U\) ideal: \(u_1u_2\in U\), \(u_1b\in U\) (penyerapan kanan), \(au_2\in U\) (penyerapan kiri). Misalkan \(u=u_1u_2+u_1b+au_2\in U\). Maka:
\[U+a'b'=U+(u+ab)=(U+u)+(U+ab)=U+(U+ab)=U+ab.\]
Jadi operasi perkalian terdefinisi baik. \(\square\)
Bagian 3 — Asosiatifitas perkalian dan sifat distributif.
\((U+a)[(U+b)(U+c)]=(U+a)(U+bc)=U+a(bc)=U+(ab)c=(U+ab)(U+c)=[(U+a)(U+b)](U+c).\) ✔
Sifat distributif diwariskan langsung dari \(R\): \((U+a)[(U+b)+(U+c)]=(U+a)(U+(b+c))=U+a(b+c)=U+(ab+ac)=(U+ab)+(U+ac)\). ✔ \(\square\)
Contoh Konkret: \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)
Contoh 11.5 — \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)
Ambil \(R=\mathbb{Z}\) dan \(U=6\mathbb{Z}\). Koset-koset di \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\):
\[6\mathbb{Z}+0,\quad 6\mathbb{Z}+1,\quad 6\mathbb{Z}+2,\quad 6\mathbb{Z}+3,\quad 6\mathbb{Z}+4,\quad 6\mathbb{Z}+5.\]
Jadi \(|\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}|=6\). Contoh operasi:
- \((6\mathbb{Z}+4)+(6\mathbb{Z}+5)=6\mathbb{Z}+9=6\mathbb{Z}+3\) (karena \(9\equiv3\pmod6\))
- \((6\mathbb{Z}+4)\cdot(6\mathbb{Z}+5)=6\mathbb{Z}+20=6\mathbb{Z}+2\) (karena \(20\equiv2\pmod6\))
Gelanggang \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) isomorfik dengan \(\mathbb{Z}_6\) — hubungan ini akan dipertegas oleh Teorema Homomorfisma di P-12.
Soal 1–2 tingkat dasar, soal 3–4 menengah, soal 5–6 tantangan.
Soal 1 (Dasar)
Tentukan apakah himpunan berikut merupakan ideal dari gelanggang yang disebutkan. Berikan alasan.
(a) \(U=\{[0],[3]\}\) dari \(\mathbb{Z}_6\).
(b) \(U=\{0,2,4,6,\ldots\}=2\mathbb{Z}\) dari \(\mathbb{Z}\).
Soal 2 (Dasar)
Tuliskan semua koset dari ideal \(U=3\mathbb{Z}\) di \(\mathbb{Z}\), lalu tentukan hasil \((3\mathbb{Z}+2)\cdot(3\mathbb{Z}+2)\) di \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\).
Soal 3 (Menengah)
Misalkan \(R\) gelanggang komutatif dengan satuan, dan \(a\in R\). Tunjukkan bahwa \(\langle a\rangle=\{ra\mid r\in R\}\) adalah ideal dari \(R\). Ideal ini disebut ideal utama yang dibangkitkan oleh \(a\).
Soal 4 (Menengah)
Jika \(U\) dan \(V\) keduanya ideal dari \(R\), buktikan bahwa \(U\cap V\) juga ideal dari \(R\).
Soal 5 (Tantangan)
Misalkan \(R=\mathbb{Z}\) dan \(U=m\mathbb{Z}\), \(V=n\mathbb{Z}\). Tunjukkan bahwa \(U+V=\gcd(m,n)\mathbb{Z}\). Petunjuk: gunakan identitas Bezout \(\gcd(m,n)=sm+tn\) untuk suatu \(s,t\in\mathbb{Z}\).
Soal 6 (Pengayaan)
Buktikan bahwa \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) adalah lapangan jika dan hanya jika \(p\) adalah bilangan prima. Petunjuk: Gunakan fakta bahwa ideal dari \(\mathbb{Z}\) berbentuk \(n\mathbb{Z}\), dan kaitkan dengan sifat bilangan prima.