PMT.61027 · Struktur Aljabar · LKM Pertemuan 12

Lembar Kerja Mahasiswa — Semi Terbimbing

Homomorfisma Gelanggang · Kerjakan secara berkelompok (2–3 orang)
⏱55:00
Klik untuk mulai —
Kegiatan 1

Verifikasi Homomorfisma

Tentukan apakah pemetaan-pemetaan berikut merupakan homomorfisma gelanggang. Jika ya, tentukan kernelnya. Untuk setiap pemetaan, verifikasi dua kondisi: (1) \(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\) dan (2) \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\).

  1. \(\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) dengan \(\phi(n)=2n\).
  2. \(\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dengan \(\phi(x)=x^2\).
  3. \(\phi:M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}\) dengan \(\phi(A)=\det(A)\) (determinan).
Petunjuk: Untuk poin (1), hitung \(\phi(a+b)=2(a+b)\) vs \(\phi(a)+\phi(b)=2a+2b\). Untuk poin (2), coba ambil contoh konkret \(a,b\) dan hitung \(\phi(ab)\) vs \(\phi(a)\phi(b)\). Untuk poin (3), ingat sifat \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) dan \(\det(A+B)\neq\det(A)+\det(B)\) pada umumnya.
Verifikasi masing-masing kondisi untuk setiap pemetaan
Kegiatan 2

Kernel sebagai Ideal

Untuk homomorfisma \(\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_8\) dengan \(\phi(n)=[n\bmod 8]\), tentukan \(K=\ker\phi\). Kemudian verifikasi secara langsung bahwa \(K\) adalah ideal dari \(\mathbb{Z}\) dengan memeriksa:

  1. \(K\) adalah subgrup dari \((\mathbb{Z},+)\).
  2. Untuk \(k\in K\) dan \(r\in\mathbb{Z}\), tunjukkan \(kr\in K\).
Petunjuk: \(\ker\phi=\{n\in\mathbb{Z}\mid n\bmod 8=0\}\). Tuliskan elemen-elemen \(K\) secara eksplisit. Untuk subgrup: periksa tertutup terhadap penjumlahan dan invers. Untuk penyerapan: ambil \(k=8m\in K\) dan \(r\in\mathbb{Z}\) sembarang, hitung \(kr\).
Jawaban dan verifikasi
Kegiatan 3

Eksplorasi Isomorfisma

Pertimbangkan pemetaan \(\phi:\mathbb{Z}_6\to\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\) dengan

\[\phi([n]_6)=([n]_2,\,[n]_3).\]
  1. Tunjukkan bahwa \(\phi\) adalah homomorfisma gelanggang.
  2. Tentukan \(\ker\phi\). Apakah \(\ker\phi=\{[0]\}\)?
  3. Apakah \(\phi\) isomorfisma? Apa kesimpulannya tentang hubungan \(\mathbb{Z}_6\) dan \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\)?
Petunjuk: Untuk (1), gunakan sifat aritmetika modular: \([n]_2+[m]_2=[n+m]_2\), dst. Untuk (2), cari \([n]_6\) dengan \([n]_2=[0]\) dan \([n]_3=[0]\) sekaligus — artinya \(2\mid n\) dan \(3\mid n\), sehingga \(6\mid n\). Untuk (3), bandingkan \(|\mathbb{Z}_6|=6\) dan \(|\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3|=6\). Gunakan Lemma 12.4.
Jawaban dan kesimpulan