Pada Bab sebelumnya kita telah mempelajari ideal dan gelanggang kuosien \(R/U\). Sekarang kita akan mempelajari pemetaan antar gelanggang yang mempertahankan struktur kedua operasi sekaligus — penjumlahan dan perkalian. Pemetaan semacam ini disebut homomorfisma gelanggang.
Karena gelanggang memiliki dua operasi, syarat homomorfisma menjadi lebih ketat dibanding homomorfisma grup. Kita akan melihat bahwa kernel homomorfisma gelanggang selalu merupakan ideal — jembatan yang menghubungkan Bab ini dengan Teorema Homomorfisma di Pertemuan 13.
Misalkan \((R,+,\cdot)\) dan \((R',+',\cdot')\) adalah dua gelanggang. Pemetaan \(\phi:R\to R'\) disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap \(a,b\in R\) berlaku:
\[ (1)\ \phi(a+b)=\phi(a)+'\phi(b),\qquad (2)\ \phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot'\phi(b). \]
Notasi \(+\) dan \(\cdot\) dipakai untuk operasi di \(R\), sedangkan \(+'\) dan \(\cdot'\) untuk operasi di \(R'\). Kondisi (1) menyatakan bahwa \(\phi\) adalah homomorfisma grup dari \((R,+)\) ke \((R',+')\). Kondisi (2) menambahkan syarat untuk operasi perkalian — inilah yang membedakan homomorfisma gelanggang dari homomorfisma grup biasa.
Misalkan \(\phi:R\to R'\) homomorfisma gelanggang dan \(0'\) unsur nol \(R'\). Kernel \(\phi\) didefinisikan sebagai \[ K = \ker\phi = \{x\in R \mid \phi(x)=0'\}. \]
Untuk gelanggang \(R\) dan \(R'\) sembarang, pemetaan konstan \(\phi:R\to R'\) dengan \(\phi(x)=0'\) untuk semua \(x\in R\) adalah homomorfisma gelanggang. Periksa:
\(\phi(a+b)=0'=0'+' 0'=\phi(a)+'\phi(b)\); \(\phi(ab)=0'=0'\cdot' 0'=\phi(a)\cdot'\phi(b)\). ✓
Kernelnya adalah \(K = R\) (semua elemen dipetakan ke \(0'\)).
Untuk gelanggang \(R\) sembarang, pemetaan identitas \(\mathrm{id}:R\to R\), \(\mathrm{id}(x)=x\) adalah homomorfisma gelanggang (jelas). Kernelnya \(K=\{0\}\), dan \(\mathrm{id}\) bijektif, sehingga merupakan isomorfisma.
Untuk \(n\geq 2\) bilangan bulat, pemetaan \(\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n\) dengan \(\phi(m)=[m\bmod n]\) adalah homomorfisma gelanggang. Periksa:
Kernelnya \(K=\{m\in\mathbb{Z}\mid m\bmod n=0\}=n\mathbb{Z}\). Pemetaan ini surjektif tetapi tidak injektif (jika \(n\geq 2\)).
Misalkan \(U\) ideal dari gelanggang \(R\). Pemetaan \(\phi:R\to R/U\) dengan \(\phi(x)=U+x\) adalah homomorfisma gelanggang yang surjektif, dan \(\ker\phi=U\).
Homomorfisma: Untuk \(a,b\in R\):
\(\phi(a+b)=U+(a+b)=(U+a)+(U+b)=\phi(a)+\phi(b)\). ✓
\(\phi(ab)=U+ab=(U+a)(U+b)=\phi(a)\phi(b)\). ✓
Surjektif: Setiap kelas \(U+x\in R/U\) adalah \(\phi(x)\). ✓
Kernel: \(\phi(x)=U\) (identitas di \(R/U\)) jika dan hanya jika \(U+x=U\), yang terjadi jika dan hanya jika \(x\in U\). Jadi \(\ker\phi=U\). ✓
Misalkan \(\phi:R\to R'\) homomorfisma gelanggang. Maka:
(1) \(\phi(0)+0'=\phi(0)=\phi(0+0)=\phi(0)+\phi(0)\). Dengan kanselasi kiri (di \((R',+')\)): \(0'=\phi(0)\). ✓
(2) \(\phi(x)+\phi(-x)=\phi(x+(-x))=\phi(0)=0'\). Jadi \(\phi(-x)\) adalah invers penjumlahan dari \(\phi(x)\) di \(R'\), yakni \(\phi(-x)=-\phi(x)\). ✓
Misalkan \(\phi:R\to R'\) homomorfisma gelanggang dan \(K=\ker\phi\). Maka \(K\) adalah ideal dari \(R\).
Langkah 1 — \(K\) subgrup dari \((R,+)\):
Langkah 2 — Penyerapan: Ambil \(k\in K\) dan \(r\in R\) sembarang.
\(\phi(kr)=\phi(k)\phi(r)=0'\phi(r)=0'\), jadi \(kr\in K\). Demikian pula \(\phi(rk)=\phi(r)\phi(k)=\phi(r)\cdot 0'=0'\), sehingga \(rk\in K\). ✓
Dengan demikian \(K\) ideal dari \(R\). ✓
Homomorfisma gelanggang \(\phi:R\to R'\) disebut isomorfisma jika \(\phi\) bijektif (injektif dan surjektif).
Dua gelanggang \(R\) dan \(R'\) dikatakan isomorfik, ditulis \(R\cong R'\), jika terdapat isomorfisma \(\phi:R\to R'\).
Misalkan \(\phi:R\to R'\) homomorfisma gelanggang dan \(K=\ker\phi\). Maka \(\phi\) injektif jika dan hanya jika \(K=\{0\}\).
(\(\Rightarrow\)) Misalkan \(\phi\) injektif. Jika \(x\in K\), maka \(\phi(x)=0'=\phi(0)\). Karena \(\phi\) injektif, \(x=0\). Jadi \(K\subseteq\{0\}\), dan karena \(0\in K\), maka \(K=\{0\}\).
(\(\Leftarrow\)) Misalkan \(K=\{0\}\). Ambil \(a,b\in R\) dengan \(\phi(a)=\phi(b)\). Maka \(\phi(a)-\phi(b)=0'\), yaitu \(\phi(a-b)=0'\), sehingga \(a-b\in K=\{0\}\), artinya \(a=b\). Jadi \(\phi\) injektif.