Pada P-12 kita telah membuktikan bahwa kernel \(K\) homomorfisma \(\phi:R\to R'\) adalah ideal dari \(R\), sehingga gelanggang kuosien \(R/K\) terdefinisi. Pertanyaan sentral yang kini kita jawab: seberapa mirip \(R/K\) dengan \(R'\)?
Teorema Homomorfisma Gelanggang menjawab dengan tegas: keduanya isomorfik. Ini adalah hasil terpenting dalam bab ini, dan merupakan jembatan yang menghubungkan kernel, ideal, gelanggang kuosien, dan isomorfisma menjadi satu gambaran yang utuh.
Dua gelanggang \(R\) dan \(R'\) dikatakan isomorfik, ditulis \(R\cong R'\), jika terdapat isomorfisma (homomorfisma bijektif) dari \(R\) ke \(R'\).
\(R\cong R\) untuk setiap gelanggang \(R\).
Pemetaan identitas \(\mathrm{id}_R:R\to R\), \(\mathrm{id}_R(x)=x\), adalah homomorfisma bijektif.
Jika \(R\cong R'\), maka \(R'\cong R\).
Misalkan \(\phi:R\to R'\) isomorfisma. Karena \(\phi\) bijektif, inversnya \(\phi^{-1}:R'\to R\) terdefinisi. Untuk \(a',b'\in R'\), ambil \(a=\phi^{-1}(a')\) dan \(b=\phi^{-1}(b')\):
\(\phi^{-1}(a'+b')=\phi^{-1}(\phi(a)+\phi(b))=\phi^{-1}(\phi(a+b))=a+b=\phi^{-1}(a')+\phi^{-1}(b')\). ✓
\(\phi^{-1}(a'\cdot b')=\phi^{-1}(\phi(a)\cdot\phi(b))=\phi^{-1}(\phi(a\cdot b))=a\cdot b=\phi^{-1}(a')\cdot\phi^{-1}(b')\). ✓
Karena \(\phi^{-1}\) juga bijektif, ia adalah isomorfisma dari \(R'\) ke \(R\).
Jika \(R\cong R'\) dan \(R'\cong R''\), maka \(R\cong R''\).
Misalkan \(\phi:R\to R'\) dan \(\psi:R'\to R''\) adalah isomorfisma. Komposisi \(\psi\circ\phi:R\to R''\) adalah homomorfisma (komposisi dua homomorfisma adalah homomorfisma) dan bijektif (komposisi dua bijeksi adalah bijeksi). Jadi \(\psi\circ\phi\) isomorfisma.
Relasi isomorfik \(\cong\) pada himpunan semua gelanggang merupakan relasi ekivalen (refleksif, simetris, transitif dari Lemma 12.5–12.7). Kelas ekivalen dari gelanggang \(R\) di bawah \(\cong\) disebut tipe isomorfisme dari \(R\).
Jika \(\phi:R\to R'\) homomorfisma gelanggang dengan kernel \(K\), maka terdapat isomorfisma dari \(R/K\) ke \(\phi(R)\). Dengan kata lain: \(R/K\cong\phi(R)\).
Definisikan \(\bar\phi:R/K\to\phi(R)\) dengan \(\bar\phi(K+r)=\phi(r)\).
Well-defined: Jika \(K+r_1=K+r_2\), maka \(r_1-r_2\in K\), jadi \(\phi(r_1-r_2)=0'\), sehingga \(\phi(r_1)=\phi(r_2)\). Maka \(\bar\phi(K+r_1)=\bar\phi(K+r_2)\). ✓
Homomorfisma: \[\bar\phi((K+r_1)+(K+r_2))=\bar\phi(K+(r_1+r_2))=\phi(r_1+r_2)=\phi(r_1)+\phi(r_2)=\bar\phi(K+r_1)+\bar\phi(K+r_2).\] \[\bar\phi((K+r_1)(K+r_2))=\bar\phi(K+r_1r_2)=\phi(r_1r_2)=\phi(r_1)\phi(r_2)=\bar\phi(K+r_1)\bar\phi(K+r_2).\] ✓
Injektif: Misalkan \(\bar\phi(K+r)=0'\), maka \(\phi(r)=0'\), sehingga \(r\in K\), yaitu \(K+r=K\) (identitas \(R/K\)). Jadi \(\ker\bar\phi=\{K\}\), sehingga \(\bar\phi\) injektif (Lemma 12.4). ✓
Surjektif ke \(\phi(R)\): Untuk setiap \(\phi(r)\in\phi(R)\), ambil \(K+r\in R/K\); maka \(\bar\phi(K+r)=\phi(r)\). ✓
Jika \(\phi:R\to R'\) homomorfisma gelanggang surjektif dengan kernel \(K\), maka \(R'\cong R/K\).
Karena \(\phi\) surjektif, \(\phi(R)=R'\). Dari Teorema 12.1, \(\bar\phi:R/K\to\phi(R)=R'\) adalah isomorfisma. Maka \(R/K\cong R'\), dan dari Lemma 12.6 (simetris): \(R'\cong R/K\).
Ambil \(\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n\), \(\phi(k)=[k\bmod n]\). Ini homomorfisma surjektif (telah diverifikasi di P-12, Contoh 12.3) dengan \(K=\ker\phi=n\mathbb{Z}\). Dari Teorema 12.2:
\[\mathbb{Z}_n=\phi(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.\]
Ini membuktikan secara formal bahwa \(\mathbb{Z}_n\) dan \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) adalah dua notasi untuk struktur aljabar yang sama.
Jika \(\phi:R\to R'\) homomorfisma dengan kernel \(K\), dan \(I'\) ideal dari \(R'\), maka \(I=\phi^{-1}(I')=\{r\in R\mid\phi(r)\in I'\}\) adalah ideal dari \(R\) yang memuat \(K\).
Subgrup: \(\phi^{-1}(I')\) tutup terhadap \(+\) dan invers karena \(I'\) subgrup \((R',+')\). \(0\in\phi^{-1}(I')\) karena \(\phi(0)=0'\in I'\). ✓
Penyerapan: Ambil \(r\in I\) dan \(s\in R\). Maka \(\phi(rs)=\phi(r)\phi(s)\in I'\cdot\phi(s)\subseteq I'\) (karena \(I'\) ideal). Jadi \(rs\in I\). ✓
\(K\subseteq I\): Jika \(k\in K\), maka \(\phi(k)=0'\in I'\), sehingga \(k\in I\). ✓
Jika \(\phi:R\to R'\) homomorfisma surjektif dengan kernel \(K\), dan \(I\) ideal dari \(R\) yang memuat \(K\), maka \(I'=\phi(I)\) adalah ideal dari \(R'\), dan \(\phi^{-1}(\phi(I))=I\).
Jika \(\phi:R\to R'\) homomorfisma surjektif dengan kernel \(K\), maka terdapat korespondensi satu-satu: \[\{I\trianglelefteq R \mid K\subseteq I\} \;\xleftrightarrow{\;I\,\mapsto\,\phi(I)\;}\; \{I'\trianglelefteq R'\}\] dengan invers \(I'\mapsto\phi^{-1}(I')\).
Ideal \(\mathbb{Z}\) yang memuat \(6\mathbb{Z}\) (yaitu \(d\mathbb{Z}\) dengan \(d\mid6\)): \(\mathbb{Z}=1\mathbb{Z},\;2\mathbb{Z},\;3\mathbb{Z},\;6\mathbb{Z}\).
Ideal \(\mathbb{Z}_6\): \(\{[0]\},\;\{[0],[2],[4]\},\;\{[0],[3]\},\;\mathbb{Z}_6\).
Korespondensi: \(1\mathbb{Z}\leftrightarrow\mathbb{Z}_6\), \(2\mathbb{Z}\leftrightarrow\{[0],[2],[4]\}\), \(3\mathbb{Z}\leftrightarrow\{[0],[3]\}\), \(6\mathbb{Z}\leftrightarrow\{[0]\}\).
Jika \(\phi:R\to R'\) homomorfisma surjektif dengan kernel \(K\), \(I'\) ideal dari \(R'\), dan \(I=\phi^{-1}(I')\), maka: \[R/I\cong R'/I'.\]
Definisikan \(h:R\to R'/I'\) dengan \(h(r)=I'+\phi(r)\).
Dari Teorema 12.2 diterapkan ke \(h\): \(R'/I'\cong R/I\), dan dari Lemma 12.6: \(R/I\cong R'/I'\).
| Teorema / Lemma | Pernyataan Pokok |
|---|---|
| Lemma 12.3 | \(\ker\phi\) adalah ideal dari \(R\) |
| Lemma 12.4 | \(\phi\) injektif \(\iff\ker\phi=\{0\}\) |
| Lemma 12.5–12.7 | Relasi \(\cong\) bersifat refleksif, simetris, transitif |
| Akibat 12.8 | \(\cong\) adalah relasi ekivalen pada himpunan gelanggang |
| Teorema 12.1 | \(R/K\cong\phi(R)\) (umum) |
| Teorema 12.2 | \(R'\cong R/K\) bila \(\phi\) surjektif — Teorema Homomorfisma |
| Lemma 12.11 | Korespondensi satu-satu: ideal \(R\) (memuat \(K\)) \(\leftrightarrow\) ideal \(R'\) |
| Teorema 5.3 | \(R/I\cong R'/I'\) — Teorema Korespondensi |
Gunakan Teorema 12.2 untuk membuktikan bahwa \(\mathbb{Z}_4\cong\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\). Sebutkan homomorfisma yang digunakan dan tentukan kernelnya.
Daftarkan semua ideal dari \(\mathbb{Z}_{12}\) menggunakan Lemma 12.11 (korespondensi dari ideal \(\mathbb{Z}\) yang memuat \(12\mathbb{Z}\)).
Misalkan \(\phi:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) dengan \(\phi(a,b)=a-b\). Tunjukkan \(\phi\) homomorfisma gelanggang, tentukan kernelnya, dan simpulkan isomorfisma yang diperoleh dari Teorema 12.2.
Misalkan \(R\) gelanggang komutatif dengan satuan dan \(I\) ideal dari \(R\). Buktikan bahwa \(R/I\) merupakan lapangan jika dan hanya jika \(I\) adalah ideal maksimal. Petunjuk: Gunakan korespondensi ideal Lemma 12.11 diterapkan pada proyeksi \(\pi:R\to R/I\).
Gunakan Teorema Korespondensi (Teorema 5.3) untuk membuktikan bahwa \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\). Petunjuk: Tunjukkan \(\mathbb{Z}_6\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\) lewat \(\phi(n)=([n]_2,[n]_3)\), kemudian terapkan Teorema 12.2.
Misalkan \(p\) bilangan prima. Tunjukkan bahwa \(p\mathbb{Z}\) adalah ideal maksimal dari \(\mathbb{Z}\), dan simpulkan dari Soal 4 bahwa \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_p\) adalah lapangan.