Bahan Ajar · Struktur Aljabar (Aljabar Abstrak) · 3 SKS
📚 Herstein §3.7 | 🎓 S1 Pendidikan Matematika – UHO | ✍️ Dr. Jafar, M.Si.
Algoritma Euclid untuk mencari \(\gcd\) di \(\mathbb{Z}\) bertumpu pada pembagian berulang dengan sisa yang semakin mengecil. Konsep ini dapat diabstraksikan ke kelas daerah integral yang lebih umum — inilah yang disebut gelanggang Euclid. Struktur ini memiliki sifat-sifat yang sangat kaya: setiap gelanggang Euclid adalah PID, dan setiap PID adalah UFD.
Definisi Gelanggang Euclid
Daerah integral \(D\) disebut gelanggang Euclid jika terdapat fungsi \(d:D\setminus\{0\}\to\mathbb{Z}_{\geq0}\) yang memenuhi dua syarat:
| (E1) | Untuk setiap \(a,b\in D\) dengan \(b\neq0\): terdapat \(q,r\in D\) sedemikian sehingga \(a=bq+r\) dengan \(r=0\) atau \(d(r) |
| (E2) | Untuk setiap \(a,b\in D\), \(a,b\neq0\): \(d(a)\leq d(ab)\). |
Fungsi \(d\) disebut fungsi Euclid atau degree function. Catatan: beberapa sumber hanya mensyaratkan (E1); syarat (E2) menjamin \(d\) bersifat wajar terhadap perkalian.
Contoh-Contoh Gelanggang Euclid
| Gelanggang \(D\) | Fungsi Euclid \(d\) | Keterangan |
|---|---|---|
| \(\mathbb{Z}\) | \(d(n)=|n|\) | Algoritma pembagian bilangan bulat |
| \(F[x]\) (\(F\) lapangan) | \(d(f)=\deg f\) | Derajat polinomial |
| \(\mathbb{Z}[i]\) (bilangan Gauss) | \(d(a+bi)=a^2+b^2\) | Norma bilangan Gauss |
| \(F\) lapangan | \(d(a)=1\) untuk semua \(a\neq0\) | Fungsi konstan — trivial |
Gelanggang Euclid adalah PID
Daerah integral \(D\) disebut Daerah Ideal Utama (Principal Ideal Domain, PID) jika setiap ideal dari \(D\) merupakan ideal utama, yaitu berbentuk \((a)=\{ra\mid r\in D\}\) untuk suatu \(a\in D\).
Setiap gelanggang Euclid adalah PID.
Misalkan \(D\) gelanggang Euclid dengan fungsi \(d\), dan \(I\) ideal dari \(D\), \(I\neq\{0\}\). Pilih \(b\in I\), \(b\neq0\), sedemikian sehingga \(d(b)\) minimum. Klaim: \(I=(b)\).
Jelas \((b)\subseteq I\) karena \(b\in I\) dan \(I\) ideal. Sekarang ambil \(a\in I\) sembarang. Oleh (E1): \(a=bq+r\) dengan \(r=0\) atau \(d(r)
Pembagi Persekutuan Terbesar dan Algoritma Euclid
Misalkan \(D\) gelanggang Euclid dan \(a,b\in D\) tidak keduanya nol. Pembagi persekutuan terbesar \(\gcd(a,b)\) adalah elemen \(d\in D\) sedemikian sehingga: (i) \(d\mid a\) dan \(d\mid b\), (ii) jika \(c\mid a\) dan \(c\mid b\) maka \(c\mid d\). (GCD unik hingga unit.)
Di gelanggang Euclid \(D\), untuk \(a,b\in D\) tidak keduanya nol, terdapat \(s,t\in D\) sedemikian sehingga \(sa+tb=\gcd(a,b)\).
Bukti singkat: Ideal \(I=\{xa+yb\mid x,y\in D\}\) adalah ideal utama \((d)\). Karena \(a,b\in I\), maka \(d\mid a\) dan \(d\mid b\), dan \(d=sa+tb\) untuk suatu \(s,t\). \(\square\)
Elemen Prima dan Daerah Faktorial
Di daerah integral \(D\), elemen \(p\in D\), \(p\neq0\), bukan unit, disebut:
| Prima: | \(p\mid ab\Rightarrow p\mid a\) atau \(p\mid b\) |
| Tereduksi: | \(p=ab\Rightarrow a\) unit atau \(b\) unit (tak dapat difaktorkan nontrivial) |
Di PID: prima \(\iff\) tereduksi. Di daerah integral umum: prima \(\Rightarrow\) tereduksi (tapi tidak sebaliknya).
Daerah integral \(D\) disebut Daerah Faktorial (Unique Factorization Domain, UFD) jika setiap elemen tak nol bukan unit dapat ditulis sebagai perkalian elemen-elemen prima (atau tereduksi), dan faktorisasi ini bersifat unik hingga urutan dan perkalian dengan unit.
Akibat: Gelanggang Euclid \(\Rightarrow\) PID \(\Rightarrow\) UFD.
Catatan: Inklusi-inklusi ini ketat. \(\mathbb{Z}[x]\) adalah UFD tapi bukan PID (karena ideal \((2,x)\) bukan utama). Contoh PID bukan Gelanggang Euclid lebih teknis.
Contoh: Bilangan Bulat Gauss \(\mathbb{Z}[i]\)
Hierarki Struktur Aljabar — Teori Ring
Contoh pembeda: \(\mathbb{Z}[x]\) adalah UFD tapi bukan PID | \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}[i]\), \(F[x]\) adalah Gelanggang Euclid
📋 Rangkuman
| Konsep | Isi / Pernyataan |
|---|---|
| Gelanggang Euclid | Daerah integral \(D\) dengan fungsi \(d\) yang menjamin algoritma pembagian bersisa (\(r=0\) atau \(d(r) |
| Contoh utama | \(\mathbb{Z}\) (nilai mutlak), \(F[x]\) (derajat), \(\mathbb{Z}[i]\) (norma), setiap lapangan (konstan) |
| Gel. Euclid \(\Rightarrow\) PID | Setiap ideal \(I\neq\{0\}\) adalah utama: pilih \(b\in I\) dengan \(d(b)\) minimum, maka \(I=(b)\) |
| GCD dan Bezout | Di gelanggang Euclid, \(\gcd(a,b)\) ada dan dapat ditulis \(sa+tb=\gcd(a,b)\) (Identitas Bezout) |
| Prima vs Tereduksi | Di PID: prima \(\iff\) tereduksi. Di daerah integral umum: prima \(\Rightarrow\) tereduksi saja. |
| PID \(\Rightarrow\) UFD | Setiap PID adalah daerah faktorial: faktorisasi unik (hingga unit) menjadi elemen-elemen prima |
| Hierarki ketat | Gel. Euclid \(\subsetneq\) PID \(\subsetneq\) UFD \(\subsetneq\) Daerah Integral |
| Contoh pembeda | \(\mathbb{Z}[x]\): UFD tapi bukan PID (ideal \((2,x)\) bukan utama) |
✏️ Latihan Soal Mandiri
Soal 1–2 dasar, soal 3–4 menengah, soal 5–6 tantangan.